Планарность

Граф Gназываетсяпланарным, если его можно изобразить на плоскости без пересечения ребер.

П

Рис. 18 Рис. 19

ример.Трехмерный кубВ³ является планарным (рис. 18), четырехмерный кубВ⁴– нет (рис. 19). Полный графК₄является планарным (рис. 20), полный графК₅ – нет (рис. 21).

П

Рис. 20 Рис. 21

устьG– планарный связный граф. Тогда любой простой цикл в нем определяет некоторую область наR². Эта область называетсягранью. У графа есть ровно одна неограниченная грань – она называетсяокеаном (рис. 22).

Т

Рис. 22

еорема(Эйлера). В любом планарном связном графе, где– количество вершин,– граней,– ребер.

Доказательство. проведем индукцией по числу ребер. При,(океан), и равенствовыполняется.

П

Рис. 23

редположим, что утверждение верно при любом числе ребер, меньшемп, и докажем равенство для графа спребрами. ПустьG – произвольный граф,. Возьмем произвольно реброе графаG, и удалим его, если оно висячее, то вместе с соответствующей вершиной. Если ребро было висячим, то для нового графаG' имеем ,,(рис. 23а). Так как число ребер уG' меньше, чем уG, то по индукционному предположениюи, следовательно,.

Если было удалено не висячее ребро (рис. 23б), то ,,. Аналогично,и, следовательно,. Теорема доказана.

Пусть G– планарный граф. Построим графG* следующим образом. Число вершин графаG* равно числу гранейG. Каждой граниG поставим в соответствие вершинуG*. Вершины вG* смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им грани вGграничат по ребру, причем две вершиныG* соединяет столько ребер, сколько общих граничных ребер у соответствующих им граней. ГрафG* называетсядвойственным(сопряженным) графуG.

В

а) б)

Рис. 24

качестве примера построим граф, сопряженный графуG, изображенному на рис. 24а. Каждой граниGсоответствует единственная вершинаG*. Изобразим ее внутри грани. Если вершиныа* и b*графаG* лежат в соседних гранях, граничащих по ребрам, соединим ребрами, пересекающими. РебраграфаGиграфаG* ,, называютсяперпендикулярными(рис. 24б).

При этом внутри каждой грани графа G* лежит единственная вершина графаG. Действительно, предположим, что внутри некоторой граниграфаG* находятся несколько вершин графаG. Так как из каждой вершины выходит по крайней мере одно ребро, а каждое ребропересекает ровно одно ребро графаG, то, гдеп– число ребер грани. Тогда, если какие-либо две из вершин соединены ребром, то внутри гранинайдется ребро, пересекающее это ребро, чего быть не может, так как внутри грани ребер нет. Пусть никакие две из вершин графаG, находящиеся внутри, не соединены ребром. Тогда все ребра, выходящие из этих вершин, пересекают ребра грани. Так как каждое ребро графапересекает ровно одно ребро графаG, то, гдеп– количество ребер и, соответственно, вершин грани. Проведение первого ребра из каждой вершины не меняет число компонент связности плоской области, ограниченной гранью, проведение каждого следующего, начиная со второго увеличивает число компонент связности на 1. Таким образом, в результате проведения всех ребер из вершин, число компонент связности области, ограниченной гранью, не превышает. Так как количество вершин граниравноп, то найдутся две вершины, лежащие в одной компоненте связности. Но тогда они принадлежат одной грани графаG, что противоречит определению сопряженного графа.

Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между гранями Gи вершинамиG*, вершинамиGи гранямиG*, ребрамиGиG*.

Рассмотрим теперь проблему планарности графов.

Теорема. Полный граф K₅ не планарный.

Д

Рис. 25

оказательство.Для графаK₅ (рис. 25) имеем. Если бы он был планарный, то выполнялось бы равенство, т.е.. Двухугольные грани, очевидно, отсутствуют. Имеем. Кроме того,. Умножим первое равенство на 3 и отнимем из второго. Получим. Получили противоречие, следовательно, графK₅ не планарный.

Теорема. Полный двудольный граф K_3,3 не планарный.

Д

Рис. 26

оказательство.Для графаK_3,3(рис. 26) имеем. Если бы он был планарный, то выполнялось бы равенство, т.е..

Имеем . В силу того, что общее количество ребер 9, в графе не может быть граней с большим, чем 9, числом ребер. Получаем,. Так как граф K_3,3 двудольный, то по критерию бихроматичности в нем нет циклов нечетной длины, следовательно, нет граней с нечетным числом ребер:. Имеем,. Умножив первое равенство на 4 и вычтя его из второго, получим. Противоречие, граф K_3,3 не планарный.

П

Рис. 27 Рис. 28

усть задан граф G,е=(а,b) – произвольное ребро. Операциейразделения ребра будем называть добавление к множествуV(G) одной вершиныc и замену одного ребраена дваи(рис. 27).

Графы G₁иG₂называютсягомеоморфными, если существуют изоморфные графыG₁' иG₂', полученные из графовG₁иG₂ применением один или несколько раз операции разбиения ребер.

Пример. Графы на рис. 28 не изоморфны, но гомеоморфны.

Если граф содержит непланарный подграф, то он сам не планарен.

Теорема (Критерий планарности А.С. Понтрягина – К. Куратовского).ГрафGпланарный тогда и только тогда, когда у него нет подграфов, гомеоморфныхK₅ илиK_3,3.

Пример. Доказать, что четырехмерный кубВ⁴не планарен.

Р

а) б)

Рис. 29

ассмотрим подграф графаВ⁴, образованный вершинамиK₁,K₂,K₃,D₁,D₂,D₃,Х₁,Х₂,Х₃,Х₄,Х₅,Х₆и ребрами (D₁,K₁), (D₁,K₂), (D₁,K₃), (D₁,K₁), (D₂,K₁), (D₂,K₃), (D₂,X₁), (X₁,X₂), (X₂,K₂), (D₃,K₂), (D₃,K₃), (D₃,X₃), (X₃,X₄), (X₃,X₄), (X₄,X₅), (X₅,K₁) (рис.29а). Э

X₃

X₄

X₂

тот подграф гомеоморфенK_3,3 (рис. 29б). Следовательно, графВ⁴не планарен.