МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

Технический университет Курсовая работа

по теме: «Исследование эффекта Гиббса при разложении разрывных функций в ряд Фурье»

Выполнил: студент ЭКТ-33 Муратов Э. Э.

Преподаватель: Богданова Н.А.

Москва 2001

Теоретическая часть Тригонометрические ряды.

Функция f(x) называется периодической (периода а), если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство f(x+a) =f(x) для всех x.

Например, тригонометрические функции

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cos3x,… (1) имеют период 2.

На самом деле функции cos kx и sin kx для каждого натурального k имеют период 2k. Таким образом 2/k<2при k>1. Постоянная же y=1 имеет как угодно малый период. Однако все функции последовательности (1) имеют период 2.

Периодическая функция S=f(t) изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени t координату s(на оси s).

Функция (периода 2l)

, (2) где А>0, l>0 и-постоянные, k-натуральное, определяетгармоническое колебание точки самплитудой А, фазой и частотой k.

Функция (2) имеет период 2l/k, т.е. одно полное колебание происходит за промежуток времени 2l/k . Количество же колебаний в единицу времени k/2l. Именно число k/2l нужно было бы назвать частотой колебания, но обычно частотой (колебания) называют число k. Отметим, что функция

,

где k- натуральное число, определяет гармоническое колебание, потому что

где

а определяется однозначно из соотношений

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом 2l представляет собой сложное колебание

(3) Наконец, более сложное периодическое колебание можно получить как сумму сходящегося( для всех t) ряда

, (4) называемоготригонометрическим рядом.

Числа a_kи b_kназываютсякоэффициентами тригонометрического ряда (4),а отдельные его слагаемые

называются членами ряда (4) или егогармониками(соответствующими частоте k).

Ряд Фурье

Пусть задана функция f(t) периода 2l и известно, что ее можно разложить в тригонометрический ряд:

(1) Т.е. она уже есть сумма некоторого тригонометрического ряда для всех t . Спрашивается, как определить по функции f(t) коэффициенты a_k, b_k.

Этот вопрос принципиально был решен математиками и физиками в начале прошлого столетия. Существенный вклад в его решение внес Ж. Фурье. Он показал, что коэффициенты a_k,b_kтригонометрического ряда, представляющего периодическую периода 2l функцию f(t), вычисляются по формулам

(2) Числа а_kи b_k, вычисляемые по этим формулам, называюткоэффициентами Фурье функции f(t), а тригонометрический ряд (1), в который вместо а_kи b_kподставлены соответствующие коэффициенты Фурье, называютрядом Фурьефункции f(t).

Отметим, что если функция f(t) имеет период а и интегрируема на отрезке [0,a] или, как говорят, на периоде, то для нее справедливо равенство

(3) для любого действительного числа.

Свойство (3), в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(t) периода 2l можно записать в виде

,

где – произвольное действительное число, потому что функции cos и sin периода 2l, а произведение функций периода 2l- в свою очередь функции периода 2l.

Отметим еще, что если функция f – четная на отрезке [-a, a], то

Если же функция f нечетная на отрезке [-a, a] , то

Функция cos четная, а sin – нечетная.

Кроме того, произведение двух четных и двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция. Поэтому для четной периода 2l функции f(t)

А для нечетной –