РГЗ-Mathсad

Расчетно-графическое задание

Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, сделать проверку. Доказать совместность, т.е. .

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21)

2. Построить график функции . Найти точки разрыва, точки экстремума, точки перегиба. Определить уравнения асимптот.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21)

Задание 3. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка методом Рунге-Кутты с заданными начальными условиями.

1) , , , ,

2) , , , ,

3) , , , , ;

4) , , , , ;

5) , , , , ;

6) , , , , ;

7) , , , , ;

8) , , , , ;

9) , , , , ;

10) , , , , ;

11) , , , , ;

12) , , , , ;

13) , , , , ;

14) , , , , ;

15) , , , , ;

16) , , , , ;

17) , , , , ;

18) , , , , ;

19) , , , , ;

20) , , , , ;

21) , , , , .

Задание 4. Постройте биномиальное распределение для серии независимых испытаний с вероятностью успеха , пуассоновское распределение с параметром , геометрическое распределение с параметрами , . Для каждого распределения выполните следующие:

• проверить равенство , где

• построить графики распределения и функций распределения

• вычислить вероятность попадания значений случайной величины в интервал

1) , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , , , , ;

5) , , , , ;

6) , , , , ;

7) , , , , ;

8) , , , , ;

9) , , , , ;

10) , , , , ;

11) , , , , ;

12) , , , , ;

13) , , , , ;

14) , , , , ;

15) , , , , ;

16) , , , , ;

17) , , , , ;

18) , , , , ;

19) , , , , ;

20) , , , , ;

Теоретическая часть

Для решения системы уравнений методом Гаусса необходимо:

1. Задать ORIGIN:=1.

2. Сформировать расширенную матрицу системы, используя функцию augment(C,d), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы С справа столбец правых частей d:

Cr:= augment(C,d)

3. Задать Cg:=rref(Cr). Последний столбец матрицы Cg содержит решение системы.

4. Функция submatrix, выделяя последний столбец матрицы Cg, формирует решение системы.

Для того чтобы исследовать функцию и построить ее график необходимо:

1. Определите функцию и постройте ее график.

2. Найти точку пересечения с осью ординат, вычислив f(0). Найти точку пересечения с осью абсцисс, решив уравнение f(x)=0 (через меню Символика).

3. Найти точки разрыва функции. Вычислить односторонние пределы.

4. Записать уравнения вертикальных асимптот: – вертикальная асимптота, если существуют пределы: ,.

5. Записать уравнение наклонной асимптоты: – наклонная асимптота, если существуют пределы: , .

6. Записать уравнения горизонтальных асимптот y=a. Изобразить асимптоты на графике.

7. Исследовать функцию на четность и периодичность.

8. Найти нули производной, решив уравнение . Вычислить и записать координаты точек экстремума, указать их тип (максимум, минимум). Построить график производной.

9. Найти нули второй производной, решив уравнение . Вычислить и записать координаты точек перегиба. Описать интервалы выпуклости и вогнутости. Построить график второй производной.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка методом Рунге-Кутты необходимо:

1. Свести ее к задаче для эквивалентной нормальной системы второго порядка, обозначив и . Тогда .

2. Затем задачу решить численно с использованием алгоритма Рунге-Кутты с указанием числа узлов N=30.

Биномиальное распределение (схема Бернулли):

Пусть - случайная величина, равная числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает целые значения от 0 до n, p – вероятность успеха, q = 1-p – вероятность неудачи в каждом испытании.

Распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли ,

где 0<p<1, k=0,1,…,n, .

Mathcad строит точки и, соединяя линией, получает так называемую плотность распределения (на графике – непрерывная линия). Ей соответствует функция распределения.

Для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение, предназначены функции dbinom(k,n,p) и pbinom(k,n,p),значения которых соответственно и F(k).

Геометрическое распределение:

Пусть - число испытаний до первого успеха, меняется от 0 до , и ее распределение определяется формулой , k=0,1,…, 0<p<1, q=1-p.

Используя формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно показать, что . Для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение, предназначены функции dgeom(k,p) и pgeom(k,p), значения которых соответственно и F(k).

Пуассоновское распределение:

Данное распределение имеет случайная величина , принимающая значения k=0,1,2,… с вероятностями , где - параметр распределения. При любых имеем .

Для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей пуассоновское распределение, предназначены функции dpois(k,) и ppois(k,), значения которых соответственно равны и F(k).

Так как случайная величина на графике представлена как непрерывная, то вероятность того, что ее значение попадет в интервал (a,b), вычисляется здесь как для непрерывной по формуле:

P(a<<b)=F(b)-F(a).

7