92. Двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Оценки неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуетсяв четыре этапа:

1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма;

2) оценки неизвестных коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов;

3) рассчитываются значения эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;

4) все структурные коэффициенты уравнений системы рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Как видно из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и для определения оценок структурных параметров уравнений системы), поэтому и получил название двухшагового.

Различают две разновидности моделей, чьи структурные формы содержат сверхидентифицированные уравнения:

1) в модель помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения;

2) все уравнения модели являются сверхидентифицированными.

Для моделей первого типа оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведённых уравнений.

Для моделей второго типа оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Если все уравнения системы точно идентифицированы, то оценки структурных коэффициентов, полученные косвенным методом наименьших квадратов и оценки, полученные двухшаговым методом наименьших квадратов будут одинаковыми.

93. Спецификация и приведенная форма эконометрических моделей в виде системы одновременных уравнений. Эконометрическая модель Самуэльсона-Хикса делового цикла экономики

Определение явного вида эконометрической модели называется спецификацией эконометрической модели.

При спецификации эконометрических моделей принято учитывать четыре принципа:

1) эконометрические утверждения и закономерности должны быть переведены на математический язык;

2) количество уравнений в модели должно быть равно числу эндогенных переменных;

3) переменные должны быть датированы;

4) в модель должен быть включён параметр случайной ошибки, чтобы охарактеризовать влияние случайных факторов.

Существуют следующие формы спецификации моделей:

1) структурная форма модели, когда эндогенные переменные не выражены явно через предопределенные переменные;

2) приведенная форма модели, когда эндогенные переменные представляют собой явно выраженные функции от предопределенных переменных.

Экономическим объектом в эконометрической модели Самуэльсона-Хикса является закрытая экономика.

Состояние закрытой экономики в текущем периоде t характеризуется переменными (Yt, Ct, It, Gt),

где Yt – валовой внутренний продукт (ВВП);

Ct– уровень потребления;

It– величина инвестиций;

Gt– государственные расходы.

При составлении спецификации модели Самуэльса-Хикса необходимо учесть следующие экономические утверждения:

1) текущее потребление объясняется уровнем валового внутреннего продукта в предыдущем периоде, увеличиваясь одновременно с ним, но с меньшей скоростью;

2) величина инвестиций прямо пропорциональна приросту валового внутреннего продукта за предшествующий период (прирост ВВП за предшествующий период определяется как разность Yt-lи Yt-2);

3) государственные расходы возрастают с постоянным темпом роста;

4) текущее значение валового внутреннего продукта представляет собой сумму текущих уровней потребления, инвестиций и государственных расходов (тождество системы национальных счетов).

Если вышеперечисленные экономические утверждения перевести на математический язык, то мы придём к спецификации модели вида (1):

Ct=a0+a1Yt–1,

It=b*(Yt–1–Yt-2),

Gt=g*Gt–1,

Yt=Ct+It+Gt,

при ограничениях:

0<a1<1,

b>0,

g>0.

Спецификация (1) модели близка к приведённой форме: текущие переменные Ct, It и Gt являются явными функциями предопределен–ных переменных, а переменную Yt можно сделать явной функцией путём подстановки правых частей первых трёх уравнений в правую часть четвёртого уравнения.

В итоге получим приведённую форму (2) модели Самуэльсона-Хикса:

Ct=a0+a1Yt–1,

It=b*(Yt–1–Yt-2),

Gt=g*Gt–1,

Yt=a0+a1Yt–1– b*(Yt–1–Yt-2)+g*Gt–1,

при ограничениях:

0<a1<1,

b>0,

g>0.

Основное отличие эконометрических моделей от других видов моделей заключается в обязательном включении в модель случайной ошибки.

Случайная ошибка характеризуется следующими свойствами:

1) математическое ожидание случайной ошибки при всех значениях эндогенной переменной равно нулю;

2) дисперсии случайной ошибки удовлетворяют свойству гомоскедастичности, т. е. постоянства дисперсий.

Запишем спецификацию модели вида (1) с учётом случайной ошибки:

Ct=a0+a1Yt–1,  (3)

It=b*(Yt–1–Yt-2),

Gt=g*Gt–1,

Yt=Ct+It+Gt,

при ограничениях:

0<a1<1,

b>0,

g>0,

E(ut|Yt–1)=0,

σ(ut|Yt–1)=σu,

σ(νt|Yt–1,Yt-2)=σν,

E(wt|Gt–1)=0.

С учётом первой и третьей спецификаций модели Самэльсона-Хикса, получим приведённую форму данной модели (4):

Ct=a0+a1Yt–1,

It=b*(Yt–1–Yt-),

Gt=g*Gt–1,

Yt=a0+(a1+b)Yt–1– b*Yt–2+g*Gt–1+(ut+νt+wt)

при ограничениях:

0<a1<1,

b>0,

g>0.