Лекция 8. Законы сохранения в механике. (2 часа)

8.1. Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии.

8.2. Закон сохранения импульса. Центр инерции. Закон движения центра инерции. Реактивное движение.

8.3. Закон сохранения момента импульса. Уравнение моментов.

8.4. Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям.

Демонстрации:

1. Гироскопический эффект.

2. Закон сохранения импульса.

3. Закон сохранения момента импульса.

4. Маятник Котельникова.

Видеофильмы:

1. Потенциальная яма и потенциальный барьер - (4 мин.).

2. Прецессия большого гироскопа - (2 мин.).

1. Закон сохранения импульса

m₁ F₁ P₁

F₂₁ 2

1

m₂ F₂ P₂

F₃₂

F₃₁

3 m₃ F₃ P₃

Система замкнута => отсутствуют внешние силы , изолирована=>внешних сил нет!!!!=> , => p=const

Центр масс системы материальных точек

Его координаты

;

;

,

Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действуют результирующая всех внешних сил.

Центр масс

Центром масс системы материальных точек называют точку пространства, радиус-вектор которой равен:

Если начало координат совпадает с центром масс, то:

Импульс системы тел равен произведению массы системы на скорость центра масс.

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная равнодействующей приложенных к системе внешних сил.

,

F_i – внешние силы.

Если система замкнута то => .

Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно.

Работа -

- dS.

mа=F

,

, ,

,

,

, ,

–работа силы, действующей на частицу, идёт на приращение её E

Иначе:

,

, ,

,

,

Работа консервативных сил равна убыли энергии системы

В системе с одними только консервативными силами полная энергия остаётся неизменной. Могут лишь происходить превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки.

Отличие от закона сохранения импульса:

Внутренние силы системы вследствие не изменяют Р. системы.

Приращение же кинетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил.

– работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

[А]=Н∙м=Дж

Е – кинетическая энергия [А]=[Е] – способность системы совершать работу.

Мощность

– определяет скорость совершения системой работы

[P]=

Лошадиная сила (л. с.) = 736 Вт.

Работа

Мощность

Консервативные силы

1. Поле сил

2. F=F(z) – центральное поле.

3. Однородное поле F=const.

4. Стационарные.

5. Консервативные силы – такие силы, для которых в стационарном поле работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от формы пути, а определяется только начальными и конечными положениями частицы в поле.

6. Потенциальное поле – поле сил называют потенциальным, если его можно описать с помощью некоторой функции , градиент которой определяет силу в каждой точке поля

φ – потенциал поля – стационарное потенциальное поле, его силы консервативные, тогда

Для нестационарного силового поля отождествлять потенциальные и консервативные силы нельзя.

U – потенциальная энергия

Полная механическая энергия системы, на которые действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Неконсервативные силы – сила трения

– диссипация энергии

Силы – диссипативные ( трения, сопротивления)

Для замкнутой системы

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Свойства пространства – времени и законы сохранения.

Принцип инвариантности законов природы относительно сдвигов системы отсчета в пространстве и во времени и относительно поворота осей координат в пространстве:

Смещение системы отсчета (инерциальной в пространстве и во времени) и поворот в пространсве не влияют на применение физических процессов внутри этих систем.

Принцип инвариантности связан с понятием симметрия – неизменность свойств системы при некотором изменении ее параметров.

Пространственная симметрия кристаллов является следствием закономерности атомного строения.

Однородность пространства и времени заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого (инерциальной системы отсчета) физические свойства и законы движения не применяются, т.е. относителен (не важен) выбор начала отсчета, пространственное положение начала координат и направление координатных осей.

Однородность времени как следствие закона сохранения механической энергии:

в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Идея закона принадлежит Ломоносову М.В.(1711–1765), количественная формулировка –Ю.Майеру (нем.) (1814–1878).

Однородность пространства как следствие закона сохранения механической энергии:

импульс замкнутой системы сохраняется; импульс незамкнутой системы сохраняется в том случае, если сумма всех внешних сил равна нулю.

Изотропность пространства как следствие закона сохранения момента импульса:

момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Теорема Эмми Нётера (нем. математик) (1882–1935):

из однородности времени следует закон сохранения энергии, из однородности пространства следует закон сохранения импульса, а из изотропности пространства – закон сохранения момента импульса.

Поле тяготения

1. Понятие поля.

Градиент и производная по направлению

Поле центральных сил

Силы – центральные, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой – центром силы, и направлены вдоль линии, соединяющей центр с данной точкой.

Поле центральных сил – потенциально !

Движение материальной точки

в поле центральных сил.

Материальная точка m движется в поле центральных сил (поле потенциально и стационарно):

Для планет солнечной системы W<0 =>

Законы Кеплера

1. Все планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Секторная скорость каждой из планет постоянна.

3. Квадрат периодов обращения планет вокруг Солнца прямо пропорционален кубам больших полуосей их орбит.

Космические скорости

1. V₁=7,9 км/с – скорость искусственного спутника, обращающегося вокруг Земли в отсутствие сопротивления атмосферы по круговой орбите вблизи поверхности Земли под действием одной только силы тяготения к Земле.

2. V₂=11,2 км/с – скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.

При движении тела в центральном поле тяготения Земли полная механическая энергия тела не изменяется.

W_К+W_П=W=const

На бесконечности от Земли W=0.

Тогда и у поверхности Земли:

3. V₃=16,7 км/с – наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть тяготение не только Земли, но и Солнца.

На современном уровне развития техники ракета не может развить даже V₁. Для реактивных двигателей V_max=5 км/с.