9.9. Расчет токов и потоков мощности в линиях,

А ТАКЖЕ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ В СЕТИ

Расчет установившихся режимов сложных электроэнер- гетических систем методом узловых напряжений состоит из двух частей: определения напряжений узлов; определения токов, потоков и потерь мощности в ветвях.

Напряжения узлов определяются в результате решения системы уравнений узловых напряжений (§ 9.5- -9.8). После того как напряжения всех узлов найдены, можно легко оп-

Рис. 9.4. Расчет токов, потоков и потерь мощности в линии:

а- токи; б- потоки мощности; в- потоки мощности при учете активной прово- димости на землю

ределить для каждой ветви ток по закону Ома, а также по- токи и потери мощности в соответствии с приведенными ниже выражениями.

Определение токов и потоков мощности в линии при из- вестных напряжениях на ее концах. Ток (фазный) в про- дольной части .линии (рис. 9.4, а) по закону Ома равен

(9.100)

где ,- линейные напряжения узлов k, и j; ,- сопротивление ветви kj; - взаимная проводимость¹ узлов kj.

Ток (рис. 9.4, а), текущий от узла k, в линию kj, по первому закону Кирхгофа равен

(9.101)

где -фазный емкостный ток в начале линии kj;

- половина емкостной проводимости на землю ли- нии kj; .

Ток , текущий из линии kj к узлу j, равен

(9.102)

Мощность трех фаз в начале продольной части линии kj, т. е. текущая по продольной части линии от узла k к узлу j (рис. 9.4,6), равна

(9.103)

Мощность в конце продольной части линии kj, т. е. под- текающая по продольной части линии от узла k к узлу j (рис. 9.4, б), равна

(9.104)

Потери мощности в продольной части линии kj (в со- противлении ) равны разности потоков мощности в на- чале и в конце линии, т. е.

(9.105)

В последнем выражении учтено, что произведение ком- плексно-сопряженных чисел равно квадрату их модуля.

Мощность, текущую от узла k в линию kj (рис. 9.4, б), можно получить из (9.101):

(9.106)

Мощность, текущая к узлу j из линии kj, в соответствии с (9.102) равна

(9.107)

Потери мощности в линииkj включают как потери в продольной части линии , так и реактивную мощность, генерируемую в начале и в конце линии. Потери мож- но определить как разность потоков мощности, текущих от узла k в линию kj и из линии kj к узлу j:

(9.108)

Если просуммировать эти выражения по всем ветвям сложной системы, то получим выражение для суммарных потерь мощности электрической системы.

В тех случаях, когда в схеме замещения линии учиты- вается и активная проводимость на землю (рис. 9.4, в), в выражениях (9.101), (9.102), (9.106)- (9.108) следует +j заменить на комплексные проводимости на землю .

Активные и реактивные составляющие потоков мощно- сти в продольной части линии (рис. 9.4, б) можно опреде- лить по выражениям (9.103), (9.104). Например, из (9.103) следует

(9.109)

(9.110)

где , - активная и реактивная мощности в начале продольной части линии kj, , - активная и реактив- ная составляющие тока в линии kj; , - активная и ре- активная составляющие напряжения узла k.

Составляющие тока в линии kj можно определить сле- дующим образом:

(9.111)

(9.112)

где , - активная и реактивная составляющие взаим- ной проводимости между узлами k и j (равна проводимости ветви kj с обратным знаком).

Потери мощности в активном и индуктивном сопротив- лениях линии, т.е. в ее продольной части, равны разности потоков мощности в начале и в конце продольной части ли- нии (рис. 9.4,6). Суммарные потери мощности в продоль- ной части электрической сети можно определить, просумми- ровав потери мощности в продольной части всех линий, т. е. по следующему выражению:

(9.113)

где суммирование ведется по всем ветвям сети.

Суммарные потери мощности в сети , т. е. в ее про- дольной и поперечной частях, получаются в результате до- бавления к (9.113) реактивной мощности, генерируемой в емкостных проводимостях линий.

Часто используется выражение потерь мощности в виде квадратичной формы от узловых напряжений. Потери мощ- ности равны разности между мощностями генераторов и на- грузок в узлах. Если для генерирующего узла мощность и ток принимаются со знаком плюс, а для нагрузочного- со знаком минус, то потери мощности в сети с n+1 узлами определяются так:

(9.114)

Подчеркнем, что - это суммарные потери в про- дольной и поперечной частях сети.

В матричном виде (9.114) можно записать следующим образом:

(9.115)

где - вектор-строка сопряженных узловых токов раз- мерности (п+1); - вектор-столбец комплексных узло- вых напряжений размерности (п+1); индекс «т» означает транспонирование матрицы.

Уравнение узловых напряжений с учетом правил дейст- вий с матрицами можно записать в следующем виде:

(9.116)

Если подставить (9.116) в (9.115), потери мощности можно вычислить по следующей формуле:

(9.117)

где - полная комплексная матрица узловых проводи- мостей размерности (п+1).

Выражение в правой части (9.117) называется квадра- тичной формой от напряжений. Если обозначим

то из (9.108) получим следующие выражения для потерь активной и реактивной мощностей:

(9.118)

(9.119)

В (9.118), (9.119) опущен индекс транспонирования у матриц ив силу их симметричности. В (9.118), (9.119) потери определяются как квадратичные формы от активных и реактивных составляющих напряжений узлов. Если использовать полную матрицу собственных и вза- имных сопротивлении узлов размерности(п+1), то из (9.115) получим аналогично (9.117) выражение потерь в ви- де квадратичной формы от токов в узлах:

(9.120)

Выразив в (9.120) токи в узлах через мощности в узлах

; .

получим следующее выражение потерь мощности в сети:

(9.121)

где - вектор-строка комплексных узловых мощностей размерности (п+1); - вектор-столбец сопряженных уз- ловых мощностей размерности (п+1); - диагональные матрицы размерности (п+1), k-е элементы которых равны соответственно и.

Пример 9,11. Для схемы на рис. 9.2 вычислим токи, потоки и поте- ри мощности по линиям при исходных данных, приведенных в примере 9.7, и напряжениях узлов, определенных в примере 9.10.

Модули, кВ, и фазы, град, напряжений узлов:

115; = 115,415; = 109,721; =0;

= 0,1352; =- 2, 1553.

Активные и реактивные составляющие напряжений, кВ, равны

= 115; = 115,4146; = 109,6434;

=0; = 0,2723; =-4,1264.

Взаимные проводимости узлов, 1/Ом:

=-0,02; =-0,04; =-0,0133;

=-0,0267; =-0,0138; =-0,0345.

Примем направления токов и потоков мощности, как указано на рис. 9.2. Вычислим токи по линиям, кА, используя формулы (9.111) и (9.112):

= 0,1047; =-0,0509;

= 0.1336; =-0,0799.

Определим потоки мощности, МВт и Мвар, по формулам типа (9.109) и (9.110). За положительное направление потоков мощности , принято направление от узлаk к j. Полученный в результате вычисления по (9.109) или (9.110) знак илипоказывает, сов- падает ли фактическое направление потоков мощности с принятым:

Определим по (9.104) потери активной и реактивной мощностей в каждой ветви и суммарные потери, МВт и Мвар:

Пример 9.12. Для схемы на рис. 9.2 вычислить потери мощности по формулам (9.118) и (9.119).

1. Вычислим собственные проводимости узлов, 1/Ом:

2. Составим матрицы:

3. Векторы и имеют следующий вид:

4. Определим потери активной мощности:

5. Вычислим потери реактивной мощности:

Потери активной и реактивной мощностей совпадают с результатом примера 9.11.