9.8. Примеры решения нелинейных уравнений

УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В практических расчетах система нелинейных уравнений с комплексными переменными (9.50) сводится к системе уравнений с действительными переменными:

(9.90)

Эту систему легко получить, выделив в (9.50) действи- тельные и мнимые части.

Итерационный процесс с помощью матрицы Z_У опреде- ляется комплексным выражением (9.62) либо эквивалент- ным ему действительным выражением

(9.91)

При расчетах на ЭВМ обычно используются действи- тельные переменные. При ручных расчетах удобно исполь- зовать систему уравнений (9.62).

Пример 9.6. Запишем нелинейные уравнения узловых напряжении в форме баланса токов при переменных ,для сети на рис. 9.2, используя данные примера 9.1 с той разницей, что в узлах 2 и 3 зада- ны мощности генератора и нагрузки.

Установившийся режим данной сети описывается системой двух комплексных уравнений

или при разделении на действительные и мнимые части при ,

(9.92)

Пример 9.7. Проделаем два итерационных шага по методу Гаусса для уравнений узловых напряжений в форме баланса токов при пере- менных ,для сети на рис. 9.2, используя данные примера 9.1 при заданных мощностях в узлах 2 и 3, соответственно равных, МВА.

Система нелинейных уравнений узловых напряжений в форме ба- ланса токов записана в предыдущем примере. Подставим туда значе- ния проводимостей и мощностей в узлах и запишем ее в виде. анало- гичном (9.44) в примере 9.2.

Начальные приближения кВ;.

Первый шаг. Система уравнений узловых напряжений совпадает с системой (9.44) в примере 9.2, совпадают и результаты ее решения:

(9.93)

Второй шаг. Подставив приближения (9.93) в правые части уравне- ний (9.92), получим систему линейных уравнений узловых напряжений во втором шаге:

(9.94)

Приводим систему (9.94) к эквивалентной с треугольной матрицей:

(9.95)

Из системы (9.95) последовательно определяем значения , ,,:

=- 4,3272 кВ; = 109,4993 кВ;

= 0,2882 кВ; = 115,4545 кВ.

Второй шаг решения системы нелинейных уравнений (9.92) закон- чен.

Расчет установившегося режима сети на рис. 9.2 на ЭВМ сошелся с точностью по напряжениям =0,001 кВ за пять шагов. Значения неиз- вестных на каждом шаге приведены в табл. 9.4.

Таблица 9.4. Результаты расчета на ЭВМ методом Гаусса

Номер итерации	, кВ	, кВ	, кВ	, кВ
1 2 3 4 5	0,2612 0,2766 0,2697 0,2708 0,2708	-4,3361 -4,1019 -4,1296 -4,1277 -4,1277	115,7187 115,4138 115,4181 115,4167 115,4167	109,9981 109,6616 109,6534 109,6499 109,6499

Пример 9.8. Проделаем два итерационных шага по методу матрицы Z_У для сети на рис. 9.2, используя данные примера 9.7. Начальные при- ближения ==110кВ, ==0. Определим первое при- ближение токов в узлах:

Будем использовать уравнение, аналогичное (9.91), с той же мат- рицей, что и в примере 9.3. Обратная матрица:

(9.96)

Первый шаг. Узловые напряжения те же, что и в примере 9.3 (кВ):

(9.97)

Определим задающие токи в узлах с учетом (9.97):

Второй шаг. Определим узловые напряжения на втором шаге:

Расчет установившегося режима сети на рис. 9.2 на ЭВМ сошелся с точностью по напряжениям =0,001 кВ за пять шагов. Значения не- известных на каждом шаге приведены в табл. 9.5.

Таблица 9.5. Результаты расчета на ЭВМ методом матрицы Z_У

Номер итерации	, кВ	, кВ	, кВ	, кВ
1 2 3 4 5	0,2622 0,2768 0,2697 0,2702 0,2702	- 4,3352 4,1014 - 4,1299 - 4,1284 - 4,1286	115,7180 115,4136 115,4172 115,4165 115,4164	109,9955 109,6593 109,6522 109,6504 109,6503

Сравнение примеров 9.8 и 9.7 подтверждает, что результаты ите- рационных процессов с применением на каждом шаге методов Гаусса и обратной матрицы Z_У совпадают.

Пример 9.9. Проделаем один шаг по методу Зейделя для уравнений узловых напряжений при переменных , для сети рис. 9.2, исполь- зуя данные примера 9.7.

Для улучшения сходимости запишем уравнения баланса токов в фор- ме, аналогичной примерам 9.4, 9.5, 9.7, 9.8.

Систему (9.92) запишем в удобном для расчетов виде следующим образом:

Зададим начальные приближения:

110 кВ; 0.

Определим первое приближение:

=-3,0325кВ; = 117,4067 кВ; =110,2981 кВ.

Определим активные и реактивные небалансы тока в узлах 2 и 3:

=-0,0924 кА; = 0,1476 кА; =- 0,0215 кА.

Расчет установившегося режима для сети на рис. 9.2 методом Зей- деля по программе «Сеть» сошелся с точностью по напряжениям = =0,001 кВ за девять шагов. Результаты расчета следующие.

=115,415кВ; =0,272кВ; =109,644кВ;

=- 4,126 кВ,

что совпадает с точностью до погрешностей округления с результатами примеров 9.7 и 9.8.

Пример 9.10. Решим методом Ньютона систему уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей при переменных U,  для се- ти на рис. 9.2, используя данные примера 9.7.

Систему нелинейных уравнений узловых напряжений (9.86), (9.87) можно записать для узла 2 следующим образом:

(9.98)

(9-99)

Аналогичные уравнения можно записать и для узла 3. Система уравнений для рассматриваемой сети после подстановки численных зна- чений запишется в следующем виде:

Начальные приближения =110 кВ, =0. Элементы вектора небалансов:

=- 8,4090 Мвар.

Вектор небалансов, МВт, Мвар:

Элементы матрицы Якоби для системы уравнений (9.86), (9.87), записанной в виде (9.98), (9.99), можно записать так:

Остальные частные производные определяются по аналогичным вы- ражениям. Для данного примера в первом шаге

Аналогично вычисляются и остальные частные производные. Матрица Якоби такова:

Систему линеаризованных уравнений на первом шаге можно запи- сать в матричной форме:

Решим эту систему уравнений методом Гаусса и определим по- правки ,,,.

=-0,0385 рад=- 2,2038°; = 0,1158 кВ;

= 0,0027 рад = 0, 1565°; = 5,9383 кВ.

Первое приближение переменных:

=0- 2,2038°=- 2,2038°; = 110+0,1158=110,1158 кВ;

=0+0,1565°=0,1565°; = 110+5,9383= 115,9383 кВ.

Первый шаг итерационного процесса окончен. Дальнейший расчет выполнялся на ЭВМ по программе Б-6/77 при заданных максимально до- пустимых активном и реактивном небалансах мощности 0,1 МВт, 0,1 Мвар. Результаты расчетов на каждом шаге приведены в табл. 9.6.

Таблица 9.6. Результаты расчета на ЭВМ методом Ньютона

Номер итерации	, кВ	, град	, кВ	, град
0 1 2 3 4	110 115,9154 115,4420 115,4150 115,4150	0 0,1604 0,1327 0,1352 0,1352	110 110,0982 109,7589 109,7210 109,7210	0 2,2019 -2,1498 2,1553 - 2,1553

Сравнение примеров 9.7- 9.10 показывает, что конечные результаты расчетов совпадают с точностью до погрешностей округления. Приме- ры подтверждают, что метод Ньютона сходится быстрее, чем методы Зейделя, обратной матрицы или решение линейных уравнений узловых напряжений по методу Гаусса на каждом шаге.