17.11.5. Скорость звука в кристалле. Цепочечная модель

Попытаемся установить факторы, влияющие на скорость распространения звуковых волн в кристалле, основываясь на так называемой цепочной модели.

Пусть кристалл имеет кубическую решетку. Рассмотрим цепочку атомов, проходящую через ребро какой-либо элементарной кристаллической ячейки (рис.17.21).

Положение равновесия атомов находятся на одном и том же расстоянии друг от друга – d (период кристаллической решетки, период идентичности). Массы атомов одинаковы и равны m_a. В результате распространения звука в кристалле будут происходить упругие колебания твердого тела, которые в свою очередь обусловлены смещением частиц из положения равновесия. Эти механические смещения накладываются на беспорядочные тепловые колебания частиц.

Смещение частиц из положения равновесия можно представить в виде,

где индекс означает номер частицы.

В данной модели предполагается, что каждая молекула взаимодействует только с двумя соседями по цепочке, с молекулами из ближайших цепочек взаимодействия нет. При смещении частицы из положения равновесия, на неё со стороны ближайших соседей по цепочке действует сила, стремящаяся вернуть её в положение равновесия. При небольших по величине смещениях эта сила имеет полное сходство с упругой и, следовательно, должен выполнить закон Гука (упругая сила пропорциональна смещению частицы)

, (17.84)

где F – сила, действующая на данную частицу со стороны одной из соседних частиц.

k - коэффициент пропорциональности (коэффициент квазиупругой силы).

Можно записать дифференциальное уравнение

; (17.85)

; (17.86)

или

; (17.87)

Поскольку предполагается, что в кристалле в направлении цепочки распространяется звуковая волна, то воспользуемся выражением для смещения частиц (уравнением волны)

, (17.88)

где kx – запаздывание по фазе частиц, находящихся на расстоянии x от источника звука, по отношению к частицам, непосредственно граничащим с источником.

С точки зрения первый слева (n = 0) в цепочке атом (х = 0) имеет нулевое запаздывание по фазе, второй (n = 1) отстает от него по фазе на , третий (n = 2) на 2, … n-й на n. Поэтому для смещения из равновесия n-го атома (молекулы) можно записать

. (17.89)

Сравнивая (17.88) и (17.89), получим

. (17.90)

Подставим выражение (17.89) в (17.89)

-m_аω²x₀cos(ωt-nδ) = kx_o{cos[(ωt-nδ)- δ]+

+cos[(ωt-nδ)+δ]-2cos(ωt-nδ)}. (17.91)

Воспользуемся тригонометрическим тождеством

cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ,

на основание которого получим

(17.92)

Длина звуковой волны λ значительно превосходит период кристаллической решетки d, тогда δ<<2, так как разность фаз 2 набегает на расстоянии, равном длине волны. С учетом этого выражение (17.93) принимает вид

-m_aω² = k{2cosδ-2} или +m_aω²=2k{cosδ-1}. (17.93)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

,

преобразуем выражение (17.93)

.

Откуда следует

. (17.94)

Так как , то (17.94) преобразуется к виду

.

С другой стороны, скорость распространения волны v, частота колебаний , длина волны λ связаны между собой соотношением , поэтому получаем

. (17.95)

Таким образом, скорость распространения звука в кристалле зависит от коэффициента квазиупругой силы k, который в свою очередь определяется жесткостью межмолекулярных связей, массы молекулы (атома), периода кристаллической решетки d. Чем сильнее возрастают силы межмолекулярного взаимодействия, при смещении молекулы из положения равновесия, тем больше параметр k и тем больше скорость звука. Наоборот, с утяжелением частиц усиливаются инертные свойства среды, а скорость звука согласно (17.95) становится меньше. Чем меньше d, тем более плотноупакованной является кристаллическая решетка, согласно (17.95) при этом скорость будет уменьшаться.

Не надо забывать, что выражение (17.95) для скорости звука в кристаллах получено для модели, которая, конечно, существенно отличается от реального объекта. Поэтому нельзя требовать от этого соотношения хорошего количественного согласия с опытом. Для нас важно, что соотношение (17.95) показывает большую роль, которую играют в распространении упругих волн молекулярные параметры, структура вещества.

В заключение отметим, что измерение скорости распространения звуковых волн в кристаллических твердых телах дает полезную информацию о кристаллическом состоянии, и что звуковые волны в кристаллах используются для реализации не разрушающегося метода контроля (дефектоскопии).