17.3. Поверхностное натяжение. Энергия поверхностного слоя жидкости

Силы взаимодействия между молекулами жидкости быстро убывают и действуют только внутри сферы молекулярного действия с центром в данной молекуле. При этом если молекула находится внутри жидкости, то результирующая сил молекулярного взаимодействия равна нулю. Это не относится к молекулам, находящимся у поверхности жидкости, в ее поверхностном слое. На молекулы поверхностного слоя действует сила направленная внутрь жидкости, перпендикулярно ее поверхности Объясняется это тем, что концентрация молекул жидкости над ее поверхностью (в паре или газе, с которым граничит жидкость) мала (рис.17.3).

Эта равнодействующая стремится втянуть внутрь данную молекулу во внутренние слои жидкости. Следовательно, весь поверхностный слой жидкости находится в особом состоянии. Он оказывает на жидкость некоторое давление. В соответствии с этим молекулы жидкости в поверхностном слое обладают дополнительной потенциальной энергией.

Перемещение молекулы из поверхностного слоя внутрь жидкости сопровождается совершением работы, при этом потенциальная энергия молекул поверхностного слоя уменьшается, переходит в кинетическую энергию этих молекул. Переход молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой требует совершения работы по преодолению результирующей силы. Эта работа может совершаться за счет дополнительной энергии за счет ее кинетической энергии. Потенциальная энергия молекулы, перешедшей в поверхностный слой, увеличивается. С течением времени, при неизменных внешних условиях, устанавливается равновесие (число молекул, покинувших поверхностный слой, будет равно числу молекул вновь оказавшихся в этом слое). Число молекул в поверхностном слое будет неизменным.

Кроме сил, действующих на молекулы поверхностного слоя в перпендикулярном направлении к поверхности, на них действуют силы в горизонтальном направлении (по касательной к поверхности жидкости). Они вызывают стремление жидкости сократить (уменьшить) свою поверхность. Эти силы получили название сил поверхностного натяжения. Следовательно, силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к участку контура, охватывающего поверхность жидкости.

Изменение внешних условий может изменить поверхность жидкости, в результате нарушается равновесие, и некоторое количество молекул может перейти в поверхностный слой. В этом случае будет совершаться работа dA пропорциональная изменению поверхности жидкости на dS

, (17.10)

где "минус" показывает, что увеличение поверхности жидкости сопровождается совершением работы;

 - коэффициент поверхностного натяжения, который характеризует свойства поверхности жидкости и показывает, какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости на единицу поверхности.

Работа по изменению поверхности жидкости может совершаться либо за счет изменения потенциальной энергии поверхностного слоя жидкости, (поверхностной энергии жидкости dW_ps), либо внешними силами. При этом , но тогда

или . (17.11)

Потенциальная энергия поверхностного слоя жидкости W_ps является составной частью внутренней энергии жидкости и ее свободной энергии.

Известно, что при неизменных внешних условиях, в частности при постоянной температуре, любая термодинамическая система стремится к состоянию с свободной минимальной энергией. А так как W_ps  S, то, следовательно, W_ps к минимальному значению, при минимальном значении поверхности S. Таким образом, при постоянной температуре жидкость стремится к такому состоянию, при котором ее поверхность минимальна. Данное утверждение позволяет предсказать, как будет вести себя жидкость в тех или иных условиях.

Предположим, что поверхностный слой жидкости занимает некоторую поверхность. Этот слой стремится уменьшить свою поверхность. Чтобы система находилась в равновесии, к границе слоя необходимо приложить силу, численно равную силе поверхностного натяжения F (рис.17.3).

Если под действием этой силы граница поверхностного слоя сместится на dx, то будет совершена работа .

Эта работа

(17.12)

тогда

откуда

a . (17.13)

Следовательно, коэффициент поверхностного натяжения, численно равен силе поверхностного натяжения, которая стремится изменить длину (величину) контура, охватывающего поверхность жидкости, на единицу.

Силами поверхностного натяжения определяется форма капель жидкости. Так как обычно жидкость находится в поле земного тяготения, то ее капли принимают форму, соответствующую минимальной сумме поверхностной энергии и потенциальной энергии в поле тяготения в зависимости от соотношения этих энергий. У капель жидкости, обладающих достаточным объемом, форма типа эллипсоида. По мере уменьшения размеров капли поверхностная энергия начинает играть существенную роль, т.к. объем и масса капли уменьшаются пропорционально кубу, а ее поверхность - квадрату радиуса. Поэтому очень малые капли принимают шарообразную форму. В условиях невесомости жидкость принимает сферическую форму при любом объеме.

Установить зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры можно, применив к растяжению жидкой пленки первое начало термодинамики.

Предположим, что пленка состоит из чистой жидкости, (хотя такая пленка неустойчива) и в ней совершается некоторый замкнутый цикл, состоящий из изотермического и адиабатического расширений и таких же процессов сжатия. Пусть в начальном состоянии пленка находится в некотором состоянии "1" и характеризуется температуройT. Сообщив ей некоторое количество тепла dQ, можно изотермически перевести (растянуть) ее в состояние "2". Произойдет изменение площади пленки на , за счет совершенной работы (рис. 17.4). При этом

. (17.14)

Поверхностное натяжение в этом случае не изменится.

Если из состояния "2" пленку адиабатически перевести в состояние "3" (растянуть), то за счет работы внешних сил, температура понизится на dT, что приведет к изменению коэффициента поверхностного натяжения на d.

При изотермическом сокращении пленки, она перейдет в состояние "4", а при адиабатическом - вернется в состояние "1".

Работа такого цикла равна разности работ при расширении и сжатии. Можно показать, что она в этом случае будет равна

. (17.15)

Если учесть, что вначале пленкой было получено dQ теплоты, то коэффициент полезного действия цикла

, (17.16)

где "минус" указывает на то, что при сокращении пленки выделяется некоторое количество тепла. Тогда

(17.17)

где r = dQ/S - количество тепла, затраченное на изменение пленки на единицу.

Таким образом, с повышением температуры величина коэффициента поверхностного натяжения уменьшается.

Подобно упругой пленке поверхностный слой жидкости стремится принять форму плоскости. Поэтому в изогнутом слое жидкости появляются силы, создающие дополнительное давление, увеличивающее или уменьшающее молекулярное давление. С учетом данного утверждения полное молекулярное давление будет равно

, (17.18)

где p_o - молекулярное давление жидкости с плоской поверхностью;

p - дополнительное давление, возникающее за счет кривизны поверхности;

"плюс" - соответствует выпуклой поверхности;

"минус" – соответствует вогнутой поверхности.

Поверхностное натяжение жидкости обуславливает дополнительное давление в жидкости, величина которого зависит от радиуса кривизны поверхности и коэффициента поверхностного натяжения. Получим формулу для расчета дополнительного давления под искривленной поверхностью жидкости (твердого тела), называемую формулой Лапласа.

Будем считать, что кривизна элемента поверхности капли в двух взаимно перпендикулярных направлениях различна и определяется радиусами кривизны R₁ и R₂, как показано на рисунке 17.5.

Пусть площадь элемента поверхности равна ∆S. Вычислим силы поверхностного натяжения, приложенные к линиям "АВ" и "СД", которыми ограничен этот элемент поверхности F и F'. Составляющие этих сил направлены к центру кривизны и обуславливают дополнительное давление. Эти составляющие, перпендикулярны к ∆S и направлены параллельно радиусу кривизны. Если поверхность плоская, то нормальной составляющей силы нет, дополнительного давления также нет. (Вторая составляющая F_|| на давление влияния не оказывает.) Итак, имеем:

(17.19)

Сила имеет такую же составляющую

; (17.20)

То же получим и для участков "АС" и "ВД" (только )

; (17.21)

; (17.22)

Сложив все четыре компонента, будем иметь

(17.23)

Откуда для дополнительного давления находим

(17.24)

Полученное соотношение (17.24) называют формулой Лапласа. Из формулы Лапласа вытекает:

1) при R₁ = R₂ = R, , что справедливо для сферической поверхности;

2) при R₂ , , что справедливо для цилиндрической поверхности;

3) силы, создающие дополнительное давление, всегда направлены к центру кривизны поверхности жидкости. В случае выпуклой поверхности, радиус кривизны R положителен, следовательно, дополнительное давление увеличивает молекулярное давление. В случае вогнутой поверхности, радиус кривизны R отрицателен, дополнительное давление уменьшает молекулярное давление.

Надо отметить, что полученный вывод справедлив для капли, которая полностью заполнена жидкостью, или для пузырька внутри жидкости.

Если имеется пузырек, например мыльный, то давление, которое оказывает поверхность пузырька на заключенный на него газ, вдвое больше. Это объясняется тем, что у такого пузырька две поверхности: наружная и внутренняя, каждая из которых создает почти одинаковые дополнительные давления. В этом случае:

а) для сферической поверхности

; (17.25)

б) для цилиндрической поверхности

. (17.26)