17.8. Гидродинамика вязкой жидкости. Силы внутреннего трения. Коэффициент вязкости. Стационарное течение вязкой жидкости. Уравнение неразрывности. Течение по трубе. Формула Пуазейля

Реальные жидкости и газы в большей или меньшей степени обладают вязкостью или внутреннем трением. Внутренне трение (вязкость) жидкостей и газов приводит к падению давления вдоль трубы, по которой течет жидкость или газ. Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, выберем плоский слой жидкости, заключенный между двумя пластинами, одна из которых приводится в движение с постоянной скоростью v. Вторая - покоится. При этом, на каждую из пластин, со стороны жидкости действует сила F, которую можно измерить. Изменяя скорость движущейся пластины, ее площадь и расстояние между пластинами, можно установить, что сила F прямо пропорциональна скорости пластины, ее площади и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами. Эта сила оказывается зависящей от рода жидкости, находящейся между пластинами

, (17.70)

где S - площадь пластины;

v_o- скорость пластины;

d - расстояние между пластинами;

 - коэффициент пропорциональности (вязкости), зависящий от рода жидкости и ее состояния (например, от температуры).

При движении в жидкости (или газе) двух пластин относительно друг друга, между ними возникает взаимодействие, которое осуществляется через жидкость, заключенную между ними, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если исследовать скорость частиц жидкости в различных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении перпендикулярном к пластинам по линейному закону

. (17.71)

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и они сами. Из формулы видно, что v_o/d  dv/dz величина, которая определяет быстроту изменения скорости в направлении z, или модуль градиента скорости. Тогда

. (17.72)

Рассмотрим стационарное движение вязкой жидкости по трубе. Для этого мысленно выделим цилиндрический слой жидкости, расположенный вдоль оси трубы длиной l и радиусом r.

С внешней стороны на поверхность рассматриваемого цилиндра действует сила, которая уравновешивает разность давления на торцах цилиндра (так как v = const), т.е. должно выполняться условие

или

(17.73)

Из уравнения (17.73)

. (17.74)

Интегрируя выражение (17.74), получим

. (17.75)

У стенок трубы v = 0, следовательно

. (17.76)

Окончательно имеем

. (17.77)

Таким образом, скорость частиц жидкости по сечению трубы увеличивается от нуля, у стенок трубы, до

(17.78)

у ее оси.

Зная скорость можно подсчитать количество жидкости, протекающей через все сечение трубы. Для этого необходимо разбить сечение трубы на тонкие кольца радиусом r и шириной dr. Через площадь такого кольца dS = 2r∙dr в единицу времени протекает объем жидкости , а через все сечение трубы

. (17.79)

Эта формула была получена Пуазейлем. По ней можно вычислять коэффициент вязкости жидкости, зная скорость ее истечения.

Течение жидкости (газа) можно разделить на два вида:

1) ламинарное (слоистое) течение. В этом случае жидкость как бы разделяется на слои, скользящие относительно друг друга, не перемешиваясь;

2) турбулентное (вихревое) течение. В этом случае происходит энергичное перемешивание жидкости.

Ламинарное течение жидкости течение стационарное.

При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте изменяется хаотично, течение нестационарное.

Характер течения жидкости определяется числом Рейнольдса

, (17.80)

где  - плотность жидкости (газа);

v - средняя по сечению скорость движения жидкости;

l - характерный для поперечного сечения размер (сторона квадрата, радиус круглого сечения и т.д.);

 - коэффициент вязкости.

При малом числе Рейнольдса течение жидкости ламинарное. Начиная с некоторого его значения, называемого критическим, течение жидкости приобретает турбулентный характер.

Если различным течениям жидкости (газа) соответствует одно и то же число Рейнольдса, то характер движения жидкости даже в трубах разных сечений будет один и тот же. Таким образом, число Рейнольдса является критерием подобия течения жидкостей (газов) в трубах.

В формулу для определения числа Рейнольдса входят коэффициент вязкости  и плотность , характеризующие свойства жидкости.

Коэффициент вязкости  называют динамической вязкостью. Отношение динамической вязкости к плотности жидкости или газа называется кинематической вязкостью

(17.81)

Кинематическая вязкость  лучше, чем динамическая вязкость, характеризует роль вязкости при прочих равных условиях. Так, например, динамическая вязкость для воды при 0  С почти в 100 раз больше, чем для воздуха. Кинематическая вязкость - в 10 раз меньше. Следовательно, при прочих равных условиях вязкость сильнее будет влиять на характер течения воздуха, чем воды.

С учетом кинематической вязкости число Рейнольдса можно вычислить по формуле

. (17.82)

Если различным течениям соответствует одно и тоже число Рейнольдса, то характер этих течений в трубах с разными поперечными сечениями будет один и тот же.

Таким образом, число Рейнольдса является критерием подобия течения жидкостей или газов в трубах.

Вязкость жидкостей и газов определяют вискозиметрами.

В условиях установившегося ламинарного течения при постоянной температуре Т вязкость газов и нормальных жидкостей (так называемых ньютоновских жидкостей) постоянная величина, не зависящая от градиента скорости.

Расплавленные металлы имеют вязкость того же порядка, что и обычные жидкости.

Особыми вязкостными свойствами обладает жидкий гелий. При температуре 2,172 К он переходит в сверхтекучее состояние, в котором вязкость равна нулю.

Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость движением и взаимодействием молекул.

В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому вязкость газов - следствие хаотичного (теплового) движения молекул, в результате которого происходит постоянный обмен молекулами между движущимися друг относительно друга слоями газа. Это приводит к переносу от слоя к слою определенного количества движения, в результате чего медленные слои ускоряются, а более быстрые замедляются. Работа внешней силы F, уравновешивающей вязкое сопротивление и поддерживающей установившееся течение, полностью переходит в теплоту.

Вязкость газов не зависит от его плотности (давления), так как при сжатии газа общее количество молекул, переходящих из слоя в слой, увеличивается, но зато каждая молекула менее глубоко проникает в соседний слой и переносит меньшее количество движения (закон Максвелла).

Так как с повышением температуры Т возрастает средняя скорость теплового движения молекул газа (несколько возрастает средняя длина свободного пробега молекул), то вязкость газов увеличивается пропорционально Т^1/2. Для очень разряженных газов понятие вязкости теряет смысл.

В жидкостях, где расстояние между молекулами много меньше, чем в газах, вязкость обусловлена в первую очередь межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул. В жидкости молекула может проникнуть в соседний слой лишь при образовании в нем полости, достаточной для перехода туда молекулы. На образование полости (на "рыхление" жидкости) расходуется так называемая энергия активации вязкого течения. Энергия активации уменьшается с ростом температуры Т и понижением давления р. В этом состоит одна из причин резкого снижения вязкости жидкостей с повышением температуры и повышения ее при высоких р. При повышении р до нескольких тысяч атмосфер  увеличивается в десятки и сотни раз.

Строгой теории вязкости жидкостей еще нет, на практике широко применяют ряд эмпирических и полуэмпирических формул, достаточно хорошо отражающих зависимость вязкости отдельных классов жидкостей и растворов от температуры Т, давления р и химического состава.

Вязкость жидкостей зависит от химической структуры молекул. Вязкость сходных химических соединений (насыщенные углеводороды, спирты, органические кислоты и т.д.) возрастает с возрастанием молекулярной массы.

Высокая вязкость смазочных масел объясняется наличием циклических молекул.

Смесь не реагирующих друг с другом жидкостей с различными вязкостями имеет среднее значение вязкости.

Если же при смешивании образуется новое химическое соединение, то вязкость смеси может быть в несколько десятков раз больше, чем вязкость исходных жидкостей (на измерении вязкости жидких веществ основан один из методов физико-химического анализа).

Возникновение в дисперсных системах или растворах полимеров пространственных структур, образуемых сцеплением частиц или макромолекул, вызывает резкое повышение вязкости. При течении "структурированной" жидкости работа внешней силы затрачивается не только на преодоление истинной (ньтоновской) вязкости, но и на разрушение структуры.