17.7. Уравнения равновесия и движения жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

Для описания движения жидкостей и газов можно воспользоваться двумя способами. Первый способ Лагранжа, который заключается в том, что изучается движение отдельной частицы. Задается траектория движения частицы, определяются ее скорость и ускорение. Второй способ Эйлера. В этом случае фиксируется точка пространства, и изучаются скорости и ускорения отдельных частиц, проходящих в данный момент через эту точку. Это позволяет говорят о скоростях и ускорениях потока жидкости и газа. Поток жидкости и газа можно охарактеризовать, задав величину и направление скоростей частиц жидкости и газа во всех точках по - тока в каждый данный момент времени.

Поток жидкости или газа изображается графически линиями тока, такими линиями, касательная к которым в каждой точке совпадает по направлению с направлением скорости.

Если частица, пришедшая в какую-либо точку потока, имеет в ней такую же скорость, какую имели в этой точке и все предшествующие частицы, то такой поток жидкости или газа называется стационарным.

В стационарном потоке линии тока совпадают с траекториями движения отдельных частиц.

Часть жидкости или газа, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Так как скорость частицы в каждой точке направлена по касательной к линиям тока, то она будет касательной и к поверхности трубки тока. Следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Вся жидкость, прошедшая через одно сечение такой трубки тока, должна пройти и через любое другое ее сечение.

Масса жидкости, прошедшая за время t через какое-либо нормальное сечение трубки тока площадью S

, (17.47)

где v - скорость частиц в этом сечении;

 - плотность жидкости в этом сечении.

В стационарном потоке за одни и те же промежутки времени через два различных сечения S₁ и S₂ одной и той же трубки тока должны проходить одинаковые массы жидкости. Тогда

(17.48)

откуда

. (17.49)

При стационарном потоке изменением плотности жидкости можно пренебречь и считать ее несжимаемой. Следовательно,

. (17.50)

Так как сечения жидкости были выбраны произвольно, то для несжимаемой жидкости в стационарном потоке величина

. (17.51)

Полученный результат (17.51) является математической формой записи теоремы о непрерывности (неразрывности) струи.

Из теоремы о непрерывности струи следует, что при переменном сечении трубки тока, частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением, которое обусловлено непостоянством давления вдоль оси трубки. В местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот.

Эту теорему можно применять к жидкостям и газам, движущимся со скоростями меньшими скорости звука, т.к. только в этом случае их можно считать, с определенной степенью точности, несжимаемыми.

Рассмотрим количественную связь между скоростью течения и давлением жидкости. При этом будем предполагать, что силы вязкости отсутствуют, т.е. будем рассматривать идеальную (невязкую) жидкость.

Выделим в стационарном потоке участок трубки тока с сечениями S₁ и S₂. Пусть скорости течения жидкости и давления через эти сечения соответственно равны v₁ и v₂; p₁ и p₂. Высоты, на которых находятся центры этих сечений h₁ и h₂. Тогда, так как силы трения отсутствуют, то можно применить закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии, рассматриваемого элемента жидкости, должно быть равно работе внешних сил, которыми в данном случае являются силы тяжести и силы давления.

За малый промежуток времени t, сечение S₁ может сместиться на расстояние l₁=v₁∙t, а правое S₂ - на l₂ = v₂∙t.

При умножении l₁ и l₂ соответственно на S₁ и S₂ будем иметь объемы жидкости, прошедшие через сечения S₁ и S₂ за указанное время, которые в силу теоремы о неразрывности струи будут равны между собой

(17.52)

Следовательно,

. (17.53)

Первый объем имеет:

а) массу

; (17.54)

б) потенциальную энергию

; (17.55)

в) кинетическую энергию

. (17.56)

Аналогично, второй:

а) массу

; (17.57)

б) потенциальную энергию

; (17.58)

в) кинетическую энергию

. (17.59)

Изменение полной механической энергии выбранной системы

.

(17.60)

Силы тяжести и силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, следовательно, они работы не совершают. Работа совершается лишь силами давления, приложенными к сечениям S₁ и S₂, которая равна

. (17.61)

Приравнивая изменение полной энергии к работе внешних сил, будем иметь

. (17.62)

После сокращения на V

. (17.63)

Так как сечения S₁ и S₂ были выбраны произвольно, то можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение

. (17.64)

Выражение (17.64) становится более точным при S0, то есть если его применять к двум произвольным точкам одной и той же трубки тока.

Таким образом, в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

. (17.65)

Выражение (17.65) является уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли оказывается справедливым для реальных жидкостей, для которых вязкость мала. Оно устанавливает закон изменения давления с изменением высоты h и скорости потока v.

Если v₁ = v₂ для двух сечений, то на основании (17.65)

или , (17.66)

то есть разность давлений оказывается такой же как и в покоящейся жидкости.

Для горизонтального потока (h₁ = h₂)

. (17.67)

Изменение давления в потоке возникает только за счет изменения скорости потока. Давление оказывается меньше там, где скорость больше. Соотношение (17.67) можно переписать в виде

. (17.68)

Следовательно, в общем виде

, (17.69)

где p - давление, не зависящее от скорости (статическое давление жидкости);

v²/2 - давление зависящее от скорости (динамическое давление, которое показывает на какую величину изменяется статическое давление при остановке движущегося потока жидкости).

Из выражения (17.69) можно сделать вывод, что давление потока жидкости в любом сечении постоянно.

Сумма статического и динамического давлений называют полным давлением потока.

Статическое и полное давления измеряют с помощью манометрических трубок (трубок измеряющих давление - трубок Пито).

Если манометрическая трубка имеет отверстие, расположенное навстречу потоку жидкости, то статическое давление передается в нее согласно закону Паскаля. Кроме того частицы жидкости, попавшие в отверстие, останавливаются, следовательно, их скорость становится равной нулю (v = 0), а это означает - динамическое давление тоже становится равным нулю. В результате статическое давление увеличивается на величину, равную динамическому давлению (∙v²/2). Таким образом, такая трубка Пито измеряет полное давление.

Если отверстие в манометрической трубке направлено вниз так, что движущиеся частицы жидкости скользят по поверхности сечения отверстия трубки, то в такую трубку передается только статическое давление, то есть она в этом случае измеряет только статическое давление. При наличии двух рассмотренных трубках, по разности высот столбов жидкости в них можно определить динамическое давление.

Система трубок Пито применяется для создания приборов - манометров. Проградуировав манометр в значениях скорости v, можно получить прибор для измерения скорости потоков жидкости.

Все вышеизложенное относится и к потокам газов.