Симплекс-метод решения задач лп, обладающих очевидным начальным базисом и заданных в каноническом виде

Задача 3. Решить задачу линейного программирования, заданную в каноническом виде и имеющую очевидный начальный базис:

Выпишем матрицу ограничений :

.

Очевидный начальный базис , т.к. путем перестановки столбцов при этих переменных получается единичная подматрица.

Выражаем из ограничений базисные переменные через небазисные:и подставляем в:

.

Переносим неизвестные влево:

- Z-строка начальной симплекс-таблицы.

Строим начальную симплекс-таблицу (смотрите таблицу 4).

Таблица4

Б	Z	x1	x2	x3	x4	x5	Реш.		Ком.
Z	1	0	0	70	80	0	30	-	Опт.
x1	0	1	0	1	2	0	1	-
x2	0	0	1	2	1	0	6	-
x5	0	0	0	2	3	1	3	-

Данная симплекс-таблиц оптимальна,. Получаем

- максимальное значение при значениях переменных:

.

Проверка:

Решение задач лп не обладающих очевидным начальным базисом двухэтапным симплекс-методом

Задача 4. Предприятие может производить 3 вида продукции . Для их производства используются 2 вида ресурсов А и В, запасы которых. Прибыль от реализации единицы продукции.

Технологическая матрица имеет вид:

.

Рынок показывает, что продукт должен производиться в объеме не менее 5 единиц.

Требуется найти оптимальный план производства , при котором выполняются все ограничения и прибыльмаксимальна.

Получаем задачу ЛП:

(1)

Приведем (1) к каноническому виду, вводя остаточные переменные:

(2)

Выписывает расширенную матрицу ограничений для (2):

Т.к. в матрице нет столбца видаматриценет, поэтому в 3-ем ограничении отсутствует очевидная базисная переменная и данная задача не имеет очевидного базиса.

Первый этап. На первом этапе решается вспомогательная - задача, целью решения которой является нахождение начального базисаосновной- задачи.

Вводим ряд искусственных переменных , количество которых равно количеству недостающих базисных переменных и рассматриваем новую целевую функцию:

Математическая модель задачи:

(3),

где – вектор искусственных переменных.

Вводим в 3-е ограничение вводим искусственную переменную и решаем задачу вида:

при ограничениях:

(4)

Выписываем расширенную матрицу ограничений для (4):

Так как в матрице есть единичная подматрица, образованная столбцами при переменных, следовательно- очевидный начальный базис для- задачи.

Выражаем базисную переменную из ограничения и исключаем из целевой функции:

Переносим неизвестные влево:

-  - строка начальной симплекс-таблицы.

Строим начальную симплекс-таблицу (таблица 5)  - задачи и доводим ее до оптимальной.

Таблица 5

Б	ω	x1	x2	x3	S1	S2	S3	r	Реш.	bi/ai	Комм.
ω	1	-1	0	0	0	0	1	0	-5	-	не опт.
S1	0	2	2	1	1	0	0	0	10	5	х1→Б
S2	0	1	3	2	0	1	0	0	15	15	Б→r
r	0	1	0	0	0	0	-1	1	5	5
w	1	0	0	0	0	0	0	1	0	-	опт.
S1	0	0	2	1	1	0	2	-2	0	-
S2	0	0	3	2	2	1	1	-1	10	-
X1	0	1	0	0	0	0	-1	1	5	-

Т.к. , значит,I этап завершен успешно, и искусственная переменная выведена из базиса.

Второй этап .На II этапе в качестве начального базиса основной задачи принимаем оптимальный базис вспомогательной задачи, т.е. .Возвращаемся к целевой функцииисходной задачи, и столбцы искусственных переменныхудаляем из симплекс-таблицы.

Выражаем базисную переменную из оптимальной симплекс- таблицы и исключаем из целевой функции:

Переносим неизвестные влево: – - строка начальной симплекс-таблицы основной задачи.

Строим начальную симплекс-таблицу основной задачи и доводим ее до оптимальной (таблица 6).

Таблица 6

Б	Z	x1	x2	x3	S1	S2	S3	Реш.	bi/ai	Ком.
Z	1	0	-2	-2	0	0	-1	5	-	Не опт.
S1	0	0	2	1	1	0	2	0	0	x3→Б
S2	0	0	3	2	0	1	1	10	5	Б→S1
x1	0	1	0	0	0	0	-1	5	-
Z	1	0	2	0	2	0	3	5	-	Опт.
x3	0	0	2	1	1	0	2	0	-
S2	0	0	-1	0	-2	1	-3	10	-
x1	0	1	0	0	0	0	-1	5	-

Имеем:

–объем производства I – го продукта.

–II продукт не производится.

–III продукт не производится.

S₁ = 0 – ресурс А используется полностью.

S₂ = 10 – остаток ресурса В.

S₃ = 0 – превышение производства продукта 1 над плановым заданием.

Замечание 4. Если , тогда исходная задача несовместима; переход ко 2-му этапу не осуществляется;

Экономическая интерпретация алгоритма симплекс-метода и оптимальной симплекс-таблицы

Задача 5. Предприятие может выпускать 3 различных вида продукции, цены реализации которых равны соответственно При производстве используются два вида ресурсов запасы, которых, а цены закупки единицы ресурса.

Технологическая матрица имеет вид:

.

Определить оптимальный план работы предприятия, дать экономический анализ для каждой итераций поиска решения с помощью симплекс-метода.

Решение.

Пусть искомые объемы производства продуктов 1,2,3.

Найдем по формуле (1) ценовые коэффициенты переменных в функции прибыли.

Имеем:

таким образом, производство продуктов 1,2 рентабельно, производство продукта 3 нерентабельно.

Задача ЛП о нахождении оптимального плана имеет вид:

Приведем задачу (10) к каноническому виду:

Начальный базис задачи: .

Z – строка начальной симплекс-таблицы 7:

.

Таблица 7

Б	Z	x1	x2	x3	S1	S2	Реш.	bi/aij	Ком.
Z	1	-2	-3	1	0	0	0	-	Не опт.
S1	0	2	1	2	1	0	15	15	x2→Б
S2	0	1	2	3	0	1	10	5	Б→S2

Экономический анализ:

Производства нет: .

Прибыль равна 0: .

Остатки ресурсов их запасам: .

=> план не оптимален, целесообразно включить в производство продукт 2, при этом прибыль составит 3руб. на 1 ед. дополнительного производства продукта 2 т.е..

При увеличении остатки ресурсов уменьшаются:

Максимально возможный объём производства продукта. 2:

→→→.

Следовательно, производство продукта 2 можно увеличить до 5 ед. При этом ресурс 2 расходуется полностью: , а остаток ресурса составит:ед. Новый план производства представлен в таблице 8.

Таблица 8

Б	Z	x1	x2	x3	S1	S2	Реш.	bi/aij	Ком.
Z	1	-1/2	0	11/2	0	3/2	15	-	Не опт.
S1	0	3/2	0	1/2	1	-1/2	10	20/3	x2→Б
x2	0	1/2	1	3/2	0	1/2	5	10	Б→S2

Экономический анализ:

- продукты 1 и 3 не производятся,

- объём производства продукта 2;

- размер получаемой прибыли.

=> план не оптимален; целесообразно увеличивать производство продукта 1, при этом прибыль увеличивается на 0.5 руб. на 1 ед. увеличения производства продукта 1, т.е. .

, остаток ресурса 1 идет на производство продукта 1.

- производство продукта 2 уменьшается, т.к. необходимо освободить часть ресурса 2 для производства продукта 1.

Максимально возможный объём производства продукта. 2:

→→→.

Следовательно, производство продукта 1 можно увеличить до ед. При этом ресурс 1 расходуется полностью:, а объём производства товара 2 уменьшится до:ед.

Оптимальный план производства представлен в таблице 9.

Таблица 9

Б	Z	x1	x2	x3	S1	S2	Реш.	bi/aij	Ком.
Z	1	0	0	17/3	1/3	4/3	55/3	-	опт.
x1	0	1	0	1/3	2/3	-1/2	20/3	-
x2	0	0	1	4/3	-1/3	2/3	5/3	-

Экономический анализ:

- производство продукта 1;

- производство продукта 2;

- продукт 3 не производится.

- максимальная прибыль.

- ресурсы используются полностью.

Экономический анализ ресурсов:

Таблица 10

Ресурс	Отаток	Статус	Ценность	Комментарий
1	0	дефицит		Цена на ресурс может возрасти не более чем на руб., но его выгодно будет использовать Закупка 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыльруб.
2	0	дефицит		Цена на ресурс может возрасти не, более чем на руб., но его выгодно будет использовать. Закупки 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыльруб.

Вывод: В первую очередь стоит приобретать ресурс 2 как более ценный.

Экономический анализ продуктов:

Таблица 11

Продукт	Статус	Относительная оценка в опт плане	Комментарий
1	базисный	0	Выгодный, производится в объеме и дает вклад в прибыльруб.
2	базисный	0	Выгодный, производится в объеме и дает вклад в прибыльруб.
3	не базисный		Не производится. Убыток от производства 1 ед. продукта по сравнению с опт. планом составит руб. Производство станет выгодным, если цена реализации увеличивается, по крайней мере, наруб.