Симплекс-метод решения задач лп, обладающих очевидным начальным базисом

Задача 2. Решить задачу о лакокрасочной фабрике симплекс-методом.

Математическая модель задачи (смотрите пример1):

(1)

Приведём задачу к каноническому виду, приводя ограничения типа ˝˝ к ограничениям типа ˝=˝, вводя неотрицательные остаточные переменныеS₁, S₂, S₃, S₄, причём, , если знак в ограничении, и, если знак.

(2)

Выпишем расширенную матрицу ограничений (коэффициенты при неизвестных в ограничениях):

.

В матрице имеется единичная подматрица, число строк в которой равно количеству ограничений. Поэтому задача имеет очевидный начальный базис, т.к. столбцы единичной подматрицы соответствуют этим переменным.

Замечание 1. Единичная подматрица может получаться и путём перестановки столбцов.

Подставляем эти выражения в целевую функцию для получения Z-строки начальной симплекс-таблицы.

Замечание 2. В данной задаче базисные переменные можно было бы не выражать, т.к. Z не содержит базисных переменных.

Переносим в Z неизвестные в левую часть:

- Z-строка начальной симплекс-таблицы.

Строим начальную симплекс-таблицу (смотрите таблицу 1) и доводим её до оптимальной.

Таблица1

Б	Z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Реш.		Ком.
Z	1	-3	-2	0	0	0	0	0	-	Не опт.
S1	0	1	2	1	0	0	0	6	6	x1→Б
S2	0	2	1	0	1	0	0	8	4	Б→S2
S3	0	-1	1	0	0	1	0	1	-
S4	0	0	1	0	0	0	1	2	-

Данная симплекс-таблица не оптимальна, т.к. в Z-строке у переменных есть отрицательные коэффициенты (относительные оценки). Выбираем наименьшую отрицательную относительную оценку и эта переменная входит в базис: x₁→Б (ведущий столбец). Делим элементы столбца ˝Решение˝ на положительные элементы ведущего столбца x₁ и результаты записываем в столбец . Выбираем в столбценаименьшее число и эта переменная выходит из базиса: Б→S₂ (ведущая строка). Обнуляем элементы ведущего столбца методом Гаусса (на пересечении ведущей строки и ведущего столбца получаем 1, а остальные 0). Следующую симплекс-таблицу (таблица 2) получаем следующим образом: ;;;;.

Таблица 2

Б	Z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Реш.		Ком.
Z	1	0	-1/2	0	3/2	0	0	12	-	Не опт.
S1	0	0	3/2	1	-1/2	0	0	2	4/3	x2→Б
x1	0	1	1/2	0	1/2	0	0	4	8	Б→S1
S3	0	0	3/2	0	1/2	1	0	5	-
S4	0	0	1	0	0	0	1	2	-

Замечание 3. При обнулении ведущего столбца можно прибавлять или вычитать либо ведущую строку или строку, полученную из ведущей.

Таблица 2 не оптимальна. Для получения следующей таблицы 3 обнуляем элементы столбца x₂.

Таблица 3

Б	Z	x1	x2	S1	S2	S3	S4	Реш.		Ком.
Z	1	0	0	1/3	4/3	0	0	12	-	опт.
x2	0	0	1	2/3	-1/3	0	0	4/3	-
x1	0	1	0	-1/3	2/3	0	0	10/3	-
S3	0	0	0	-1	1	1	0	3	-
S4	0	0	0	-2/3	1/3	0	1	2/3	-

Получена оптимальная симплекс-таблица. Значения базисных переменных и находятся в столбце ˝Решение˝, а значения небазисных переменных равны нулю.

- максимальная прибыль.

- объёмы производства.

, т.к. .

.

Проверка (подставляем значения базисных переменных в канонический вид):