Варианты задания №11

Найти точку минимума функции U(x,y) с точностью 0,1 указанным методом: а-покоординатный спуск, б-простой градиентный метод, в-метод наискорейшего спуска, г-метод деформированного многогранника.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

Примеры выполнения задания №11

Метод наискорейшего спуска. Найти точку минимума функции с точностью=0,1 методом наискорейшего спуска.

1. Находим градиент функции

2. Выбираем нулевое приближение (точку ):

3. Вычисляем значение функции в этой точке и проекции градиента на оси x и y:

4. Выбираем параметр : =1. Находим координаты иточки:

5. Вычисляем значение функции в этой точке:

6. Так как значение функции U(x,y) в точке меньше, чем в точке, то параметр увеличиваем: =2, находим , вычисляем значение функциии сравниваем с предыдущим значением. Если функция убывает, то продолжаем увеличивать параметр с шагом 1 до тех пор, пока функция убывает.

7. Так как в точке функция начинает возрастать, то минимум лежит между значениями=7 и =9. Таким образом, для параметра  имеем отрезок локализации на котором находится минимум функцииU(x,y).

8. Применяем метод половинного деления для поиска минимума функции одной переменной , где в качестве переменной выступает параметр. Отрезок локализации делим попалам и определяем две точки ис учетом того, что=0.1:

10. Вычисляем значения функции при этих значениях параметра  и проверяем третье условие (8.5):. Имеем

11. Условие (8.5) не выполнено, процесс продолжаем. Так как значение функции при , т.е. в точке, меньше, то имеем новый отрезок локализации [7.99,9]. Процесс продолжаем:

11. В точке условие минимума выполнено, таким образом эта точка с координатами:является точкой минимума, значение функции в этой точке равно:.

Метод деформированного многогранника. Найти точку минимума функции с точностью=0,1 методом дефомированного многогранника.

1. Так как функция зависит от двух переменных x,y, то имеем m=2. Выбираем шаг h=0.5 и три точки в соответствии с (8.8) с координатами:

2. Вычисляем значение функции в этих точках. Имеем

3. Значение функции в точке наибольшее, ее исключаем и находим среднюю точку из оставшихся точек, и кординаты пробной точки:

6. Вычисляем значение функции в пробной точке: .

5. Сравниваем со значением в исключенной точке . Значение функции в пробной точке меньше, поэтому находим новую пробную точку:

Вычисляем в ней значение функции . Так как значение в пробной точкеменьше, чем в пробной точке, то точкузаменяем на пробную точку. Имеем опять три точки:

6. Вычисляем значение функции в этих точках и длины всех граней, выходящих из той точки, в которой функция имеет минимальное значение:

7. Так как значение функции в точке наибольшее, то ее исключаем и находим среднюю точку из оставшихся точек, и кординаты пробной точки:

8. Вычисляем значение функции в пробной точке: .

9. Сравниваем со значением в исключенной точке . Значение функции в пробной точкеменьше, чем в точке, поэтому находим новую пробную точку:

и вычисляем значение функции в этой точке, имеем

10. Так как значение функции в пробной точке меньше, чем в пробной точке, то точкузаменяем на пробную точку. В результате имеем три новые точки и значения функции в этих точках:

11. Процесс продолжаем, в результате имеем

11. После четырех деформаций многогранник восстанавливаем. Так как в точке значение функции наименьшее, то ее берем за базовую точку, шаг уменьшаем в два раза и процесс продолжаем. Имеем:

12. Условие минимума выполнено, так как длины всех сторон многогранника, выходящие из точки с координатами: , в которой функция минимальна, меньше заданного=0.1. Имеем точку минимума: , значение функцииU(x,y) в этой точке равно: .