МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
«Вычислительная математика»
Методические указания и задания
к контрольной работе
для студентов-заочников
КУРСК -2003 г.
Составитель В. М. Буторин
УДК 519.6
Вычислительная математика. Методические указания и задания к контрольной работе для студентов-заочников. / Курск. гос. техн. ун-т; Сост. В.М.Буторин. Курск, 2003. 113 с.
Методическое пособие включает двенадцать контрольных заданий (с сорока вариантами каждое), которые охватывают все основные разделы вычислительной математики и численных методов: основы теории погрешностей, аппроксимацию функций, численное дифференцирование и интегрирование, решение линейных систем уравнений, решение нелинейных уравнений, методы одномерной и многомерной оптимизации, решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши). Для каждого задания приведены необходимые теоретические сведения, а также примеры выполнения.
Предназначено для студентов технических специальностей изучающих спецкурсы «Вычислительная математика» и «Численные методы».
Табл. Библиогр.: 12 назв.
Рецензент кандидат математических наук наук, доцент В.И.Дмитриев.
Текст печатается в авторской редакции
ЛР № 020280 от 09.12.96. ПЛД № 50-25 от 01.04.97.
Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. Уч.-изд. л. . Тираж 60 экз. Заказ .
Курский государственный технический университет.
Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного
технического университета.
Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии:
305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
СОДЕРЖАНИЕ
I. Приближенные числа. Основы теории погрешностей. 4
II. Аппроксимация функций. 18
III. Численное дифференцирование. 38
IV. Численное интегрирование. 51
V. Системы линейных алгебраических уравнений. 60
VI. Решения нелинейных уравнений. 77
VII. Нахождение минимума функций одной переменной. 85
VIII. Методы многомерной оптимизации. 91
IX. .Обыкновенные диференциальные уравнения. Задача Коши. 105
Библиографический список. 113
. Приближенные числа. Основы теории погрешностей
1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть a-точное значением некоторой величины; а*-приближенное значение той же величины (приближенное значение). Абсолютной погрешностью приближенного числа а называют модуль разности между точным и приближенным значением:
. (1.1)
Относительной погрешностью величины а называется отношение абсолютной погрешности этой величины к ее абсолютному значению, взятому по модулю
. (1.2)
Максимальное
значение абсолютной погрешности
называется предельной абсолютной
погрешностью и обозначается
.
Максимальное
значение относительной погрешности
называется предельной относительной
погрешностью и обозначается
.
Как правило, под погрешностями подразумевают предельные погрешности.
Процесс
представления числа с меньшим количеством
разрядов называется округлением.
Существует несколько способов округления.
Наиболее простой из них-усечение, который
состоит в отбрасывании меньших разрядов.
Чаще используется округление по
дополнению, в котором, если первая, слева
отбрасываемая цифра меньше 5, то
сохраняется значение младшего сохраняемого
разряда, если же отбрасываемая цифра
,
то к младшему сохраняемому разряду
добавляют единицу.
Относительная погрешность приближенного числа связана с количеством его верных знаков. Наличие одного верного знака соответствует относительной погрешности порядка 10%, двух верных знаков - погрешности порядка 1%, трех верных знаков - погрешности порядка 0,1% и т.д.
На практике количество верных знаков числа обычно отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности: Также считают, что количество верных знаков числа равно порядку относительной погрешности, взятому с противоположным знаком