Варианты задания №6.

Приближенно вычислить интеграл с использованием указанной в задании квадратурной формулы, при этом на всем отрезке интегрирования использовать пять узлов и в результате оставить только верные знаки. Методом Рунге оценить погрешность результата и методом Рунге-Ричардсона провести уточнение вычисленного значения интеграла

1. (метод трапеций).

2. (метод Симпсона).

3. (метод Симпсона).

4. (метод трапеций).

5. (метод Симпсона).

6. (метод прямоугольников).

7. (метод Симпсона).

8. (метод трапеций).

9. (метод Симпсона).

10. (метод Симпсона).

11. (метод трапеций).

12. (метод трапеций).

13. (метод прямоугольников).

14. (метод Симпсона).

15. (метод трапеций).

16. (метод прямоугольников).

17. (метод Симпсона).

18. (метод Симпсона).

19. (метод трапеций).

20 (метод трапеций).

21. (метод прямоугольников)

22. (метод трапеций).

23. (метод Симпсона).

24. (метод Симпсона).

25. (метод трапеций).

26. (метод Симпсона).

27. (метод прямоугольников).

28. (метод Симпсона).

29. (метод трапеций).

30. (метод Симпсона).

31. (метод Симпсона).

32. (метод трапеций).

33. (метод трапеций).

34. (метод прямоугольников).

35. (метод Симпсона).

36. (метод трапеций).

37. (метод прямоугольников).

38. (метод Симпсона).

39. (метод Симпсона).

40. (метод трапеций).

Пример выполнения задания №6.

Методом прямоугольников приближенно вычислить интеграл:

используя четыре узла на отрезке интегрирования, в результате оставить только верные знаки. Методом Рунге оценить погрешность результата и методом Рунге-Ричардсона провести уточнение вычисленного значения интеграла.

1. Определяем координаты узлов _i (i=0,...,n) при n=4. Для этого разбиваем отрезок [1,1.8] на четыре отрезка равной длины для получения равномерной сетки с шагом h. Так как нижний предел интегрирования a=1, а верхний предел b=1,8; то получаем: h=(b-a)/n=0,2. Имеем пять узлов x_i:

Вычисляем узлы _i:

₁=1,1; ₂=1,3; ₃=1,5; ₄=1,7.

При шаге h/2=0,1 соответственно имеем восемь отрезков с узлами:

₁=1,05; ₂=1,15; ₃=1,25; ₄=1,35; ₅=1,45; ₆=1,55; ₇=1,65; ₈=1,75.

2. Количество знаков, которые необходимо учитывать при расчетах определяется погрешностью формулы. Оценим погрешность формулы прямоугольников, полагая что . Для оценки имеем следующее соотношение:

Так как расчеты должны проводиться с большей точностью чем погрешность формулы, то для оценки погрешности используем шаг h/2, так как при шаге h погрешность будет больше. Имеем

Следовательно, в расчетах необходимо учитывать не менее четырех знаков после запятой.

3. Используя формулу прямоугольников для шага h=0,2 и шага h/2=0,1, соответственно получаем:

4. По формуле Рунге оцениваем главную часть погрешности:

Для абсолютной погрешности вычисления интеграла сшагом h можем записать: .

5. Для уточнения приближенного значения интеграла используем метод Ричардсона:

V. Системы линейных алгебраических уравнений.

1. Основные определения. Система уравнений вида:

(5.1)

или в сокращенной записи:

(5.2)

называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными x_i (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:

(5.3)

где A - квадратная матрица, и - векторы столбцы вида:

(5.4)

Определителем ( детерминантом ) матрицы А порядка n называется число _n (detA) равное:

(5.6)

где - определитель матрицы порядка (n-1), образованной из матрицы A вычеркиванием первой строки и i-ого столбца, при этом определитель матрицы первого порядка, которая состоит всего из одного элемента, например a_ij, равен самому этому элементу ₁=a_ij.

Для существования единственности решения системы линейных уравнений необходимо и достаточно выполнения условия det A0.

2. Прямые методы решения. Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы - прямые (точные) и итерационные (приближенные). Наиболее распространенными являются следующие прямые методы:

а) правила Крамера. Решение системы записывается в виде:

(5.7)

где

(5.8)

б) метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы линейных уравнений к треугольному виду (прямой ход ):

(5.9)

а затем решение этой системы начиная с x_n, далее x_n-1 и т.д. до x₁ (обратный ход).

Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса.

Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делает главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора.

Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом.

Прямой ход. На k шаге выбирается главный элемент в k столбце. Пусть это будет элемент в j -ой строке ,kjn. Верхний индекс в скобках указывает, что коэффициенты уравнения получены после (k-1) шага исключения.

Перестановкой j и и k строк делает этот элемент диагональным.

(5.10)

Далее производим исключение x_k из уравнений с номерами k+1,...,n с помощью соотношения:

(5.11)

После n-1 шагов приходим к системе уравнений с треугольной матрицей.

Обратный ход.

Из последнего уравнения находим . Далее определяем, а затеми т.д. доx₁ c помощью соотношения:

(5.12)

3. Обратная матрица. По определению матрица A^-1 является обратной матрице A если выполняется соотношение: А^-1·А=Е, где Е - единичная матрица:

(5.13)

Так как EA=AE, то AA^-1A=AE=EA. Отсюда AA^-1=E. Матрица E состоит из элементов e_ij=_ij, где _ij - символ Кронекера:

(5.14)

Используя правило умножения матриц, имеем:

(5.15)

где a_kj и - элементы прямой и обратной матриц. Из этого уравнения следует, что для нахождения элементовj - го столбца обратной матрицы ,k=1,2,...,n; необходимо решить линейную систему:

(5.16)

Для нахождения обратной матрицы (обращения матрицы) нет необходимости n раз решать данную систему с разными правыми частями. Правая часть этой системы записывается не в виде одного столбца , а в виде набора из n столбцов , j=1,2,...n; которые образуют единичную матрицу Е (b_ij=e_ij=_ij). Методом Жордана-Гаусса матрица A сводится к диагональному виду, при этом единичная матрица в правой части будет преобразована в обратную матрицу A^-1.