§3. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. Пусть имеется следующая система нелинейных уравнений:

(6.5)

Как уже отмечалось выше, для одной переменной метод Ньютона использует замену искомого уравнения уравнением прямой или, как еще говорят, производит линеаризацию исходного уравнения. Пусть имеется k - ое приближение: . Разложим левые части системы уравнений в ряд Тейлора и учтем только линейные члены:

(6.6)

где ,i=1,2,...,n; а частные производные вычисляются в точке k-го приближения: x₁=x₁^(k), x₂=x₂^(k),...,x_n=x_n^(k).

Заменим в исходной системе нелинейные функции f_i(x₁,x₂,...,x_n) на правые части этих приближенных равенств, которые являются линейными функциями относительно переменных x_i, i=1,2,...,n. В итоге получим следующую систему линейных уравнений относительно переменных x_i, i=1,2,...,n:

(6.7)

Из этой системы можно определить значения x_i, i=1,2,...,n и вычислить значения k+1-приближения: . Данная система уравнений представляют собой метод Ньютона для системы нелинейных уравнений.

Определитель этой системы называется якобианом.

. (6.8)

Для существования решения якобиан должен быть отличен от нуля для каждого шага итерации.

Критерий окончания. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнятся условия: , для всех i=1,2,...,n.

Варианты задания №9

С помощью метода Ньютона решить следующую систему уравнений, результаты получить с точностью 0,1.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

Пример выполнения задания №9

С помощью метода Ньютона решить следующую систему уравнений, результаты получить с точность 0,1.

1. Согласно метода Ньютона имеем следующую систему уравнений:

2. Находим частные производные:

3. Записываем систему уравнений метода Ньютона:

где

Так как заданная точность равна 0,1, то все вычисления необходимо проводить с точностью как минимум на порядок выше. Поэтому в расчетах будем учитывать два знака после запятой, т.е. расчеты вести с точностью не хуже чем 0,01.

4. Выбираем нулевое приближение: x⁽⁰⁾=1, y⁽⁰⁾=0. Для определения первого приближения имеем следующую систему уравнений относительно x и y:

5. Решая эту систему, получаем: x=0,5; y=-0,5. Находим первое приближение: x⁽¹⁾=x⁽⁰⁾+x=1,5 и y⁽¹⁾=y⁽⁰⁾+y=-0,5. Так как x>0,1 и y>0,1; то находим второе приближение, для вычисления которого имеем следующую систему уравнений:

6. Имеем: x=-0,04; y=0,38. Отсюда получаем второе приближение:

x⁽²⁾=x⁽¹⁾+x=1,46 и y⁽²⁾=y⁽¹⁾+y=-0,12. Так как x<0,1 и y>0,1; то записываем систему для третьего приближения:

7. Получаем: x=-0,11 и y=-0,84. Имеем x⁽³⁾=x⁽²⁾+x=1,35 и y⁽³⁾=y⁽²⁾+y=-0,96. Так как x>0,1 и y>0,1; то записываем систему для четвертого приближения:

8. Получаем: x=-0,1 и y=0,24. Имеем x⁽⁴⁾=x⁽³⁾+x=1,25 и y⁽⁴⁾=y⁽³⁾+y=-0,72. Так как x=0,1 и y>0,1; то записываем систему для пятого приближения:

9. Получаем: x=-0,06 и y=0,05. Имеем x⁽⁵⁾=x⁽⁴⁾+x=1,19 и y⁽⁵⁾=y⁽⁴⁾+y=-0,67. Так как x<0,1 и y<0,1; то итерационный процесс прекращаем.

10. После округления имеем приближенное решение: x1,2 и y-0,7.