1.9. Примеры выполнения задания 9
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.
I.
Интегралы виды
вычисляются с помощью замены:
,
,
.
II.
Интегралы от дробно-линейных функций,
т.е. интегралы виды
,
где
вычисляются с помощью подстановки
.
III.
Интегралы вида
.
Могут быть найдены с помощью обратной
подстановки
.
IV.
Интегралы вида
в простейших случаях сводятся к табличным,
необходимая замена переменной определяется
после выделения полного квадрата в
квадратном трехчлене
.
Пример 9. Найти интегралы
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а) Воспользуемся
подстановкой
или
. Тогда
и
. Указанная подстановка приводит интеграл
к виду
б) Подстановка
приводит интеграл к виду
в) Воспользуемся
подстановкой
откуда
.
Выразим
,
тогда
.
Интеграл примет вид
результат
вычисления данного интеграла можно
найти в справочнике Двайта «таблицы
интегралов» с.30, №122.2.
Следовательно,
Заметим, что
интеграл
может быть найден с помощью подстановки
.
Действительно,
Возвращаясь
к переменной t,
выразим функции:
,
Тогда
Заметим, что полученный результат:
соответствует результату, найденному с помощью таблицы.
Дальнейшие преобразования (переход к переменной х) ранее уже
были приведены.
2. Индивидуальные задания
Задание 1.
Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 2.
Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.
|
1. |
|
2. |
|
3. |
|
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
33. |
|
|
34. |
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
39. |
|
|
40. |
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
45. |
|
|
46. |
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
51. |
|
|
52. |
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
57. |
|
|
58. |
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
63. |
|
|
64. |
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
69. |
|
|
70. |
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
75. |
|
|
76. |
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
|
|
Задание 3.
Найти интеграл, результат проверить дифференцированием.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 4.
Найти интеграл, применив метод интегрирования по частям. Результат проверить дифференцированием.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 5.
Найти интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 6.
Найти интеграл от рациональной дроби, предварительно разложив ее на сумму простейших дробей.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 7.
Найти интеграл.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
62. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 8.
Найти интеграл, применяя тригонометрическую подстановку.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
Задание 9.
Найти интеграл.
|
1. |
|
2. |
|
|
3. |
|
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
7. |
|
8. |
|
|
9. |
|
10. |
|
|
11. |
|
12. |
|
|
13. |
|
14. |
|
|
15. |
|
16. |
|
|
17. |
|
18. |
|
|
19. |
|
20. |
|
|
21. |
|
22. |
|
|
23. |
|
24. |
|
|
25. |
|
26. |
|
|
27. |
|
28. |
|
|
29. |
|
30. |
|
|
31. |
|
32. |
|
|
33. |
|
34. |
|
|
35. |
|
36. |
|
|
37. |
|
38. |
|
|
39. |
|
40. |
|
|
41. |
|
42. |
|
|
43. |
|
44. |
|
|
45. |
|
46. |
|
|
47. |
|
48. |
|
|
49. |
|
50. |
|
|
51. |
|
52. |
|
|
53. |
|
54. |
|
|
55. |
|
56. |
|
|
57. |
|
58. |
|
|
59. |
|
60. |
|
|
61. |
|
62. |
|
|
63. |
|
64. |
|
|
65. |
|
66. |
|
|
67. |
|
68. |
|
|
69. |
|
70. |
|
|
71. |
|
72. |
|
|
73. |
|
74. |
|
|
75. |
|
76. |
|
|
77. |
|
78. |
|
|
79. |
|
80. |
|
