ЭМиКМ (пособие)

32

x6, x15 , x19 , x20 , лежащие на правой верхней границе области возможных решений (точки, соединенные пунктиром). Для всякого другого решения суще- ствует хотя бы одно доминирующее, для которого либо Z1, либо Z2 , либо оба критерия будут больше.

После того как из множества X выделены эффективные решения, можно выбрать среди них приемлемое решение. Выбор одного из паретовских реше- ний, которому будет отдано предпочтение, относится к компетенции ЛПР.

28

Глава 2. Задачи линейного программирования в экономике

Линейные модели являются одним из наиболее простых и часто исполь- зуемых классов математических моделей, используемых в экономике. Они изу- чаются в рамках линейного программирования − одного из наиболее ранних и проработанных разделов исследования операций.

Линейное программирование (англ. linear programming) − это набор ма-

тематических методов и приемов решения задачи оптимального распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов, времени и т.п.) для достижения определенной цели (максимума прибыли или минимума издержек).

Появление линейного программирования обычно связывают с именем американского математика Дж. Данцига, который в 1947 году применил мето- ды линейной алгебры для определения оптимальных решений задач, содержа- щих определенные ограничения.

Другим основоположником линейного программирования по праву явля- ется советский математик, академик Л.В. Канторович (1912-1986), которому в 1975 году была присуждена Нобелевская премия по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за вклад в развитие теории опти- мального распределения ресурсов. В 1939 году Л.В. Канторович опубликовал научную работу, в которой на основе метода разрешающих множителей (муль- типликаторов) исследовались различные классы планово-производственных за- дач, давалась математическая постановка производственных задач оптимально- го планирования и предлагались эффективные методы решения и приемы эко- номического анализа этих задач. В данной работе, которая стала известна в США лишь в 1959 году, было показано, что все экономические проблемы рас- пределения могут рассматриваться как задачи максимизации при многочислен- ных ограничениях и, следовательно, могут быть решены при помощи методов линейного программирования.

Термин «линейное программирование» нуждается в кратком коммента- рии. В данном случае слово «программирование» означает планирование, а слово «линейное» − поиск экстремума (минимума или максимума) линейной целевой функции при линейных ограничениях, представленных системой ли- нейных уравнений или неравенств. Вот что по этому поводу вспоминает нобе- левский лауреат Дж. Данциг: «Военные называли программами свои различные планы и предлагаемые расписания для подготовки, тылового снабжения и пе- ремещения боевых частей. Когда я впервые проанализировал задачу планиро-

29

вания для ВВС и увидел, что она может быть сформулирована как система ли- нейных неравенств, то назвал свою первую статью «Программирование с ли- нейной структурой». Однажды летом 1948 г. Купманс, прогуливаясь со мной по пляжу городка Санта-Моника, предложил сократить этот термин до «линейного программирования» и я согласился» [14].

Имеется целый ряд различных методов линейного программирования; одни из них являются специализированными или узконаправленными (т.е. предназначены для решения определенного класса задач), другие имеют более общий характер. Наиболее распространенным методом решения задач линей- ного программирования является так называемый симплекс-метод, разрабо- танный Дж. Данцигом, а наиболее эффективным из известных − метод эллипсоидов. В простейшем случае, когда число переменных равно двум, удобен простой и наглядный графический способ.

Другой важный класс линейных задач образуют задачи, сводимые к сис- темам линейных уравнений, − это линейные задачи, ограничения в которых имеют характер равенств. Как известно, одним из наиболее простых и одно-

временно эффективных подходов к решению линейных систем является метод последовательного исключения неизвестных.

Эффективное применение линейного программирования достигается при решении следующих общих классов задач [15]:

−задачи о составлении смеси, цель которых заключается в выборе наиболее экономичной смеси ингредиентов, т.е. составляющих (руды, нефти, пищевых продуктов и др.) при учете ограничений на физический или химиче- ский состав смеси и на наличие необходимых материалов;

−задачи планирования производства, цель которых подбор наиболее

выгодной производственной программы выпуска одного или нескольких видов продукции при использовании некоторого числа ограниченных источников сы- рья;

−задачи распределения товаров, цель которых состоит в том, чтобы

организовать доставку товаров от некоторого числа поставщиков к некоторому числу потребителей так, чтобы оказались минимальными либо расходы по этой доставке, либо время, либо некоторая комбинация того и другого. В простей- шем случае это задача о перевозках (транспортная задача).

Рассматриваются и комбинированные задачи (например, в случае, когда какой-то товар производится в разных местах, задачи производства и распреде- ления объединяют в единую модель).

30

Задачи о составлении смеси

Исторически задача о составлении смеси (диеты, рациона) является одной из первых ЗЛП. Ниже рассмотрено построение экономико-математических мо- делей для нескольких задач, относящихся к данному классу [9, 16]. Цены, зара- ботная плата и некоторые другие количественные величины, представленные в задачах, которые приведены ниже, выбраны достаточно условно и не отражают их нынешнего фактического состояния.

Задача №1. Металлургическому комбинату требуется уголь с содержа- нием фосфора не более 0,03% и с долей зольных примесей не более 3,25%. Комбинат закупает три сорта угля, условно обозначенных A, B и С, с извест- ным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать сорта угля A, B и C, чтобы полученная смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?

Содержание примесей и цена каждого сорта угля приведены в таблице

2.1.

Решение. Построим экономико-математическую модель задачи. Обозна- чим x1 − количество угля сорта A в тонне смеси, x2 − количество угля сорта B в тонне смеси, x3 − количество угля сорта С в тонне смеси.

Стоимость 1 т. смеси (целевая функция) с учетом введенных обозначений и данных графы «Цена 1 т., руб.» запишется в виде:

Z = 30x1 + 30x2 + 45x3 .

Ограничение на содержание фосфора в смеси запишется в виде:

0,06x1 + 0,04x2 + 0,02x3 ≤ 0,03 (%).

Ограничение на содержание зольных примесей в смеси запишется в виде:

2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 3,25 (%).

Ограничение на состав 1 т. смеси запишется в виде:

x1 + x2 + x3 =1.

31

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет вид:

определить количества x1, x2, x3 угля сортов A, B, C, соответственно, в тонне смеси, при которых достигается минимум целевой функции:

Z(X ) = 30x1 + 30x2 + 45x3 → min

при ограничениях

ì0,06x1 + 0,04x2 + 0,02x3 ≤ 0,03, ïï2x1 + 4x2 + 3x3 £ 3,25,

íïx1 + x2 + x3 =1,

ïîx1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0.

Задача №2. Рацион для питания животных на ферме состоит из двух ви- дов кормов I и II. Один килограмм корма I вида стоит 80 руб. и содержит: 3 ед. белков, 1 ед. жиров, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II вида стоит 10 руб. и содержит: 1 ед. белков, 3 ед. жиров, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий белков не менее 9 ед., жиров не менее 6 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не бо- лее 16 ед.

Для удобства представим данные, содержащиеся в условии задачи, в таб- личном виде (таблица 2.2).

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозна- чим x1, x2 − количество кормов видов I и II, входящих в рацион питания. Тогда общая стоимость рациона (целевая функция) запишется в виде:

Z = 80x1 +10x2 .

32

C учетом того, что количество единиц питательных веществ, входящих в рацион кормления, не должно быть меньше (больше) указанного минимума (максимума), ограничения запишутся в виде следующих неравенств:

3x1 +x2³ 9 − для белков, x1 + 3x2³ 6 − для жиров,

x1 + 8x2³ 8 − для углеводов, 2x1 + 4x2£16 − для нитратов.

Кроме того, по смыслу задачи должно выполняться условие

x1 ³ 0, x2 ³ 0.

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет вид:

составить рацион питания, при котором достигается минимум целевой функции:

Z(X ) = 80x1 +10x2 → min

при ограничениях

Задача №3. В отделе технического контроля (ОТК) предприятия работа- ют контролеры 1-го и 2-го разрядов. Норма выработки ОТК за 8-часовой рабо- чий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер 1-го разряда проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев. Контролер 2-го разряда проверяет 15 изделий в час, его точность составляет 95%.

Заработная плата контролера 1-го разряда равна 4 р. в час, контролер 2-го разряда получает 3 р. в час. При каждой ошибке контролера предприятие несет убыток в размере 2 р. Предприятие может использовать не более восьми кон- тролеров 1-го и десяти контролеров 2-го разряда. Руководство предприятия хо- чет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на кон- троль будут минимальными.

Решение. Обозначим через x1, x2 − количество контролеров 1-го и 2-го разрядов соответственно. Число контролеров каждого разряда ограничено, т.е. имеются следующие ограничения:

33

x1 £ 8 (1-й разряд), x2 £10 (2-й разряд).

Ежедневно необходимо проверять не менее 1800 изделий. Поэтому вы-

полняется неравенство

8× 25x1 + 8×15x2 = 200x1 +120x2 ³1800,

или

5x1 + 3x2 ³ 45.

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы предприятия, связанные с контролем, включают две составляющие:

1)зарплату контролеров,

2)убытки, вызванные ошибками контролеров.

Исходя из этого, расходы на одного контролера 1-го разряда в час составляют

4 р. + 2 р.× 25×0,02 = 5 р.,

а расходы на одного контролера 2-го разряда

3р. + 2 р.×15×0,05 = 4,5 р.

Целевая функция, выражающая ежедневные расходы на контроль, запишется в виде:

8×(5x1 + 4,5x2 ) = 40x1 + 36x2 .

Таким образом, экономико-математическая модель задачи примет вид:

определить количественный состав ОТК, включающего контролеров 1-го и 2-го разрядов, при котором достигается минимум целевой функции:

Z(X ) = 40x1 + 36x2 → min

при ограничениях

ìx1 £ 8, ïïx2 £10,

íï5x1 + 3x2 ³ 45,

ïîx1 ³ 0, x2 ³ 0.

Задачи планирования производства

При планировании производства продукции на промышленном предпри- ятии необходимо учитывать его ресурсные ограничения, а именно: фонд ма- шинного времени по каждому виду оборудования; фонд рабочего времени, оп- ределяемый численностью персонала; фонд материальных ресурсов, которые

34

может получить в планируемый период предприятие от поставщиков по заклю- ченным договорам.

Модели многих задач планирования базируются на законах сохранения (балансовых соотношениях) и эмпирических закономерностях преобразования ресурсов в продукцию (производственных функциях). Математически подоб- ные модели представляются в виде систем m линейных уравнений с n неиз- вестными, которые решаются с помощью известных методов линейной алгебры (например, методом Гаусса).

Основное уравнение ресурсной модели производства отражает баланс не- обходимых ресурсов предприятия и имеет вид [17]:

i= j

где aij − норма расхода i -го вида вспомогательной продукции на производство единицы j -го вида основной (конечной) продукции; x j − количество произво-

димой основной продукции j -го вида; yi − количество основной продукции i -

го вида.

Содержательный смысл этого уравнения заключается в следующем: ко-

личество основного i -го продукта yi должно равняться количеству xi вспомогательного продукта, используемого для производства этого основного продукта, минус общие расходы этого вспомогательного продукта на

комплектацию других основных и вспомогательных продуктов предприятия.

Основное уравнение ресурсной модели (2.1) может быть преобразовано к

виду

i= j

и решено методом Гаусса для получения планируемых объемов xi основной и

вспомогательной продукции.

Требуемые для выполнения плана материальные ресурсы определяются

как

j =1

35

где drj − норма расхода r -го вида материальных ресурсов на изготовление единицы j -го вида продукции, r − номер вида материалов, сырья, полуфабри- катов, комплектующих, деталей, узлов, топлива, электроэнергии.

Требуемые для выполнения плана производственные фонды оборудова- ния (в виде затрат машинного времени) определяются как

Требуемые для выполнения плана трудовые ресурсы (в виде затрат рабо- чего времени) определяются как

j =1

где tgj − норма затрат (рабочего времени) g -го вида труда на изготовление единицы j -го вида продукции, g − номер вида труда (по профессиям).

Если dr , fs , tg выходят за установленные для этого планового периода максимальные обеспеченные уровни, то необходимо пересмотреть (уменьшить) объем конечной продукции yi , определить новые значения или принять меры по увеличению ресурсов.

<Здесь должна быть задача…>

Задача №4. Производственному участку поручено выпускать мебель двух видов, на производство которых выделены необходимые сырьевые и про- изводственные ресурсы (таблица 2.3).