Лекция 6 Геометрические и аффинные преобразования на плоскости.
Методы преобразования, рассматриваемые ниже, являются основным инструментом манипулирования элементами изображений. Понимание принципов изменения и преобразования элементов изображений в значительной мере увеличивают наши возможности при создании изображений средствами машинной графики и адекватное восприятие результатов преобразования.
Соотношения между точками трехмерного евклидового пространства и их координатами, может быть задано либо радиус – вектором
=, гдеex, ey, ezединичные вектора осей,
либо матрицам вида или.
Геометрические преобразования, проводимые в компьютерной графике как на плоскости, так и в пространстве, возможно проводить в двух вариантах.
Первый подход заключается в том, что рассматривается преобразование одного множество точек в другое, но при этом система координат, в которой определены оба эти множества, остается неизменной, а сам объект преобразуется относительно начала координат до получения желаемого результата.
Другой вариант подхода заключается в преобразовании систем координат. Этот случай обычно полезен, когда желательно собрать вместе много объектов, каждый из которых описан в своей собственной (локальной, пользовательской) системе координат, и выразить координаты всех объектов в одной глобальной (“мировой”) системе координат.1Переход от одной прямоугольной КС к другой в общем случае описывается следующими соотношениями:
, гдеa,b,c,dпроизвольные числа, связанные между собой соотношением:
.
Необходимо отметить, что оба варианта проведения преобразований эквивалентны. Здесь будем рассматривать вариант геометрических преобразований, когда система координат остается неизменной, а точка М(x, y) под действием какого - либо преобразования перемещается в точкуM`(x`, y`), определённой в той же системе координат.
Определим аффинные преобразованиякак преобразования, которые сохраняют прямолинейность прямых линий, параллельность параллельных прямых и деление отрезков в заданных отношениях. В аффинных преобразованиях на плоскости особую роль играют несколько важных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. Все изменения над отдельными подмножествами точек изображения и изображением в целом выполняются с помощью четырех базовых операций: перемещения, масштабирования, отражения и поворота, которые лежат в основе многих графических приложений.
Рассмотрим некоторое произвольное графическое изображение, которое описывается множеством из Nточек. Это множество может быть дополнено подмножеством пар точек, которые должны быть соединены прямыми линиями. Каждаяi-я точка представляется на плоскости вектором положения с помощью ее двух координатxi и yi , которые можно рассматривать как элементы матрицыA, описывающей изображение, размеромN * 2.
Предположим, что известно другое графическое изображение в той же координатной системе XY, описываемое матрицейB, размеромN * 2. Введем матрицу преобразованияT такую, что
A * T = B, для выполнения подобного преобразования, матрицаTдолжна иметь размерность 2 х 2. Здесь необходимо отметить, что в общем случае, произведение матрицАи Тне коммутативно.T– матрица преобразования, которая позволяет выполнять различные геометрические преобразования над множествами точек, определенных на координатной плоскостиXY. Матричное произведениеA*T- основа математических преобразований, используемых в двухмерной графике:
вращение, относительно начала координат;
масштабирование;
зеркальное (симметричное) отображение;
перемещение.
О
Рис. 3.25 Поворот
точки относительно начала координат
Рассмотрим кратко механизм этих преобразований. В качестве математической основы преобразований используется механизм алгебры матриц.