8.3. Научные исследования
На основании научных законов строятся алгоритмы, или совокупность процедур, для определения характера поведения систем. Программа вычислительной машины — это то средство, при помощи которого реализуются и применяются алгоритмы. Физические объекты и математические структуры могут быть представлены в виде чисел и символов в вычислительной машине, а для манипулирования с ними в соответствии с алгоритмом можно написать программу. Выполнение программы для вычислительной машины приводит к изменению чисел и символов в соответствии с научными законами, что позволяет вывести следствия этих законов.
Исполнение машинной программы во многом сходно с проведением эксперимента. Однако в отличие от физического объекта при обычном эксперименте объекты в вычислительном эксперименте не ограничены законами природы, а подчиняются законам, выраженным машинной программой, — лишь бы они были непротиворечивыми. Таким образом, вычисление расширяет сферу экспериментальной науки: оно позволяет проводить эксперимент в некой гипотетической области. Вычисление также расширяет теоретические исследования. По традиции все научные законы описываются в терминах определенного множества математических функций и конструкций, и своим развитием они обязаны как математической простоте, так и способности служить моделью для основных характеристик изучаемого явления природы. Научный закон, определенный при помощи алгоритма, может, однако, принимать любую непротиворечивую форму. Поэтому изучение многих сложных систем, которые не поддавались исследованию традиционными математическими методами, стало возможным с использованием машинных экспериментов или вычислительных моделей. Вычисление стало новым мощным средством, дополнившим ранее существовавшие методики теоретической и экспериментальной науки.
Разумеется, многие научные вычисления могли быть выполнены традиционными математическими средствами без помощи вычислительных машин. Нaпример, пусть даны уравнения, описывающие движение электронов в произвольном магнитном поле Можно вывести простую математическую формулу, дающую траекторию движения электрона в oaiopoдном магнитном поле (его напряженность одинакова во всех точках). Однако для более сложных магнитных полей такой простой математической формулы не найдено. Тем не менее уравнения движения приводят к алгоритму, при помощи которого можно определить траекторию движения электрона. В принципе эту траекторию можно вычислить вручную, но на практике только вычислительная машина может справиться с множеством шагов, необходимых для получения точных результатов.
Для проведения вычислительных экспериментов можно использовать машинную программу, реализующую законы движения электрона в магнитном поле. Такие эксперименты оказываются более гибкими, чем традиционные лабораторные эксперименты. Например, нетрудно придумать лабораторный эксперимент для изучения траектории электрона, движущегося под действием магнитного поля в телевизионной трубке. Однако ни один лабораторный эксперимент не сможет воссоздать условий, при которых электрон движется в магнитном поле нейтронной звезды. А машинную программу можно применить в обоих случаях.
Исследуемое магнитное поле определяется множеством чисел, хранящихся в памяти вычислительной машины. Программа применяет алгоритм, имитирующий движение электрона посредством изменения чисел, представляющих его положения в последовательные моменты времени. Современные вычислительные машины обладают достаточным быстродействием, поэтому возможно изучение большого числа случаев. Исследователь может непосредственно взаимодействовать с вычислительной машиной, изменяя различные аспекты изучаемого явления по мере получения новых результатов. Обычный процесс, присущий любому научному методу, когда сначала гипотезы формулируются, а затем проверяются, можно значительно ускорить, если обратиться к помощи вычислительной машины.
Машинные эксперименты не ограничиваются процессами, происходящими в природе. Например, программа для вычислительной машины может описывать движение магнитного монополя в магнитных полях, хотя магнитные монополи не были обнаружены в физических экспериментах. Тем не менее можно реализовать в программе различные исключающие друг друга законы движения магнитных монополей. E снова после выполнения программы можно вывести следствия из гипотетических законов. Таким образом, вычислительная машина дает исследователю возможность экспериментировать в области гипотетических законов природы.
Для примера математической имитации рассмотрим движение "броуновской частицы" (рис.8.5)
Случайное блуждание служит моделью для таких физических процессов. Путь движения частицы можно описать как последовательность шагов, каждый из которых берется в случайном направлении. С помощью вычислительной машины моделируются случайные блуждания и измеряются их средние свойства. На диаграммах, представленных в виде гистограмм, высота каждого отсчета отмечает число моделируемых случайных блужданий, для которых было обнаружено, что они достигли особой области позиций по истечении некоторого времени. По мере увеличения числа испытаний размеры гистограммы приближаются к точному распределению позиций. Для обычного случайного блуждания можно непосредственно получить точное распределение и вывести соответствующее дифференциальное уравнение; оно достаточно простое и имеет точное решение. Однако для большинства дифференциальных уравнений точного решения получить нельзя и надо проводить приближения. Результаты, показанные на диаграммах, получены при помощи машинной программы, в которой пространственные и временные приращения были малыми частями длин и времен индивидуальных шагов в случайном блуждании. Алгебраические приближения дифференциальных уравнений найдены в виде ряда алгебраических членов. На диаграмме внизу приведены первые три члена ряда. Вклад каждого члена показан сплошной линией черного цвета; штриховая прямая (или кривая)— предыдущий порядок в приближении. Результат суперпозиции — это текущий порядок приближения (суммарная кривая).
Вычислительную машину можно также использовать для изучения свойств абстрактных математических систем. Во многих случаях математические эксперименты, выполняемые на вычислительной машине, могут подсказать новые идеи, которые затем доказываются традиционными математическими методами.
