II. Пределы и непрерывность

§ 4. Пределы функций

«Предел функции» – более общее понятие, чем «значение функции в точке».

Не всегда аргумент можно подставить в формулу функции. Так, функция не имеет смысла в точке, но приполучается.

Функция не вычисляется в точке, но приоказывается, что.

В 1-м случае говорят, что предел в точке 0 равен 2: . Во 2-м случае предел в точкеравен –3:.

Кроме того, функции не определяются в бесконечности, поскольку такое понятие не выражается числом. Между тем предел в бесконечности находится по стандартным правилам и нередко достаточно просто.

Например, функция привначале быстро возрастает, однако при бесконечно большом аргументе стремится к 0:.

Также хорошо известно, что функция при.

Для работы необходимо вспомнить, что

а) функции , где, называютосновными элементарными;

б) функции, составленные из основных элементарных при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций (взятия функции от функции), называют элементарными.

Если функция элементарна, то при вычислении, когда– число, вначале пробуют подставитьв функцию– найти.

Если результат получается, как обычное значение функции – это и есть ответ. Если функция неэлементарна или при подстановке возникает неопределённость ,, применяют разные правила и схемы вычисления пределов.

Предел дробно-рациональной функции в точке

Пусть даны точка и функция, гдеи– некоторые многочлены. Надо найти.

Найдём и. Полученные числа обозначим соответственноP и Q. Возможны 4 случая:

1) , тогда– это обычное число (не обязательно целое);

2) , тогда;

3) , тогда;

4) , тогдаираскладываются на скобки так, что

для всех ,

где – какие-то многочлены (полиномы). Находим ии приходим к одному из случаев 1, 2 или 3.

Проще говоря,

– в 1-м и 2-м случаях предел равен значению функции в точке;

– в 3-м не равен конкретному числу и обозначается символом бесконечности;

– в 4-м случае надо разложить числитель и знаменатель на скобки, сократить одинаковые и подставить число заново.

ПР1. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д).

Пример 1. Подстановкой можно найти, что

а) ;

б) ;

в) .

ПР2. Найдите пределы, подставив точку в функцию:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

Пример 2. Так же, как в примере 1,

а) ;

б) ;

в) (не!)

ПР3. Подставив точку в функцию, проверьте, что пределы равны 0:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

Пример 3. Простая подстановка показывает, что

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

ПР4. Проверьте, что указанные пределы равны бесконечности:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г); д).

Пример 4. Поскольку знаменатель равен 0, то

а) ;

б) ;

в) .

ПР5. Раскройте неопределённость , разложив дробь на множители-скобки и сократив одинаковые скобки в числителе и в знаменателе:

1) а) ; б); в); г); д);

2) а) ; б); в); г); д);

3) а) ; б); в); г); д);

4) а) ; б); в); г); д).

Замечание 1. Вам понадобятся формулы

; ;

.

Сумма квадратов на действительные множителине раскладывается.

Пример 5.

.

Также можно было вынести за скобки числа 10 и 25 и сократить на .

Замечание 2. Обратите внимание, что попытка подставить число в первоначальную дробь берётся в скобки как приводящая к неопределённости (также заключаемой в скобки). Этим подчёркивается, что арифметическое выражение, взятое в скобки, не имеет смысла и потому не равно самому пределу. В то время как предел равен конкретному числу, что и выясняется при решении.

Замечание 3. Скобки при появлении необычных ситуаций ставят, чтобы отличать последние от бессмысленных выражений. Например,

– деление одной бесконечно малой величины на другую;

– деление числа 1 на бесконечно малую величину;

и– действия или величины, противоречащие основам математики.

Пример 6.

.