Замечание о поиске 2-х производных

Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).

Пример 3. ,Разложим и учтём, что:

,

тогда .

Очевидно, приипри.

Пример 4. ,Применим формулу:

,

тогда .

Для выяснения знака замечаем, чтоне существует при, а также

,

тем самым ось надо разбить на интервалы точками и. Окажется, чтоприиприи при(проверьте).

Пример 5. ,В числителе нужен фрагмент, делящийся на знаменатель:

.

Поиск проще, чем. Вначале находим

,

затем, вынося как можно больше множителей за скобки,

,

откуда, с учётом коэффициента –5 и того, что ,

.

Знаменатель положителен, а числитель даёт 3 точки, и знак чередуется, начиная с при.

Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.

Пример 6. ,. Учитывая, что

,

находим и затем

.

Получается, что приипри, причём.

Пример 7. ,Разложим дробь так:

.

Теперь можно заметить, что , и поэтому

.

Тем самым , и тогда

а) ;

б) .

Для поиска корней вынесем за скобки :

,

откуда – точка разрыва, аи– корни числителя.

80