1.2. Сравнения

1.2.1. Отношение сравнимости

Определение 11. Для данных целых чисел,и, говорят, чтосравнимо спо модулю, если разностьделится на:

.

При этом число называется модулем сравнения.

Из определения 12 непосредственно следуют следующие свойства сравнений:

1. Рефлексивность:

.

2. Симметричность:

.

3. Транзитивность:

.

Таким образом, для фиксированного значения отношение сравнимости является отношением рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. отношением эквивалентности.

В этих условиях каждый класс эквивалентности по этому отношению обладает в точности одним представителем в множестве чисел от до[9-11]. Иными словами, любое целое число сравнимо по модулюровно с одним числом в промежутке отдо.

Множество классов эквивалентности по модулю (называемых классами вычетов) обозначается.

Несложно убедиться, что сравнения обладают следующим свойством [8].

4. Коммутативность

Таким образом, множество является коммутативным кольцом, т.е. вычет по одному и тому же модулю можно складывать, вычитать и перемножать, и эти операции удовлетворяют обычным аксиомам ассоциативности, коммутативности, существования противоположного элемента и т.д.

Рассмотрим условия существования противоположного элемента.

Теорема 3. Для каждого целого существует единственное целое число, такое что произведение сравнимо спо модулю, тогда и только тогда, когдаи− взаимно просты:

.

Схема доказательства: Для доказательства теоремы необходимо представить в видеи воспользоваться теоремой 2 и свойствами сравнений [15].

Следствие: Если то обратный элемент(из условия) может быть найден за времядвоичных операций.

Замечание: Если , то под отрицательной степеньюподразумевается-я степень обратного класса вычетов, т.е. класс вычетов, содержащий-ю степень любого целого числа, такого, что.

1.2.2. Использование свойств сравнений для решения теоретико-числовых задач криптологии

Подробное рассмотрение свойств сравнений позволяет получить следующий важный результат [8,9].

Теорема 4 (малая теорема Ферма). Пусть − простое число. Любое целое числоудовлетворяет сравнению, и любое целое число, не делящееся на, удовлетворяет сравнению.

Из условий данной теоремы несложно получить следствие.

Следствие. Если не делится наи если, то.

Пример 6. Найти последнюю цифру в записи числа в системе счисления по основанию 7.

Решение: Пусть , т.к., то

. Следовательно, последняя цифра равна 2.

Не менее важное свойство сравнений отражает т.н. китайская теорема об остатках.

Теорема 5 (китайская теорема об остатках). Пусть требуется решить систему сравнений по различным модулям:

причем любые два модуля сравнения взаимно просты относительно друг друга: . Тогда эта система разрешима, и любые два решения сравнимы по модулю.

Данная теорема позволяет сформулировать следующее важное следствие.

Следствие. Функция Эйлера обладает свойством «мультипликативности», т.е.

.

Теорема 6. Пусть известно, что есть произведение двух простых чисели. Тогда зная эти числаи, можно найтиза время порядкаи обратно, знаяи, можно найтииза время порядка.

Доказательство. Утверждение очевидно, если − четно, т.к. в этом случае,и; поэтому рассмотрим случай когда− нечетно. В силу мультипликативности функции Эйлера дляполучаем. Таким образом, значениеможет быть получено с помощью одного сложения и одного вычитания.

Обратно, предположим, что известны и, и требуется найтии. Для неизвестных величиниизвестны их произведениеи сумма. Обозначим последнее выражение через(отметим,— число четное). Но два числа, произведение которых равно, а сумма, по теореме Виета должны быть корнями квадратного уравнения. Итакиравно. Наибольшее время при вычислении занимает процедура извлечения квадратного корня: на нее требуетсядвоичных операций [9].

Рассмотрим обобщение малой теоремы Ферма, сделанное Эйлером.

Теорема 7 (теорема Эйлера).

.

Схема доказательства. Для начала необходимо доказать справедливость утверждения для случая, когда есть степень простого числа:. Выполняя индукцию по, при, получаем малую терему Ферма. Рассматривая биномиальные коэффициенты в выражении, получаем доказательство частного случая.

В дальнейшем, используя мультипликативность функции Эйлера и тот факт, что степени различных простых чисел взаимно просты, доказывается и общий случай [12-14].

Следствие. Если и— наименьший неотрицательный вычетпо модулю, то.

Пример 7. Вычислить .

Решение:

{ Расширенный алгоритм Евклида }

Упражнения для самоконтроля

1. Решить систему сравнений:

2. Найти последнюю цифру в записи числа в системе счисления по основанию 11.

3. Вычислить .

4. Вычислить .