Лекция № 13

Если рассматриваем фиксированную реализацию, то получим число. При фиксированном времени получим случайную величину. Базируясь на модели случайной величины перейдем к системе случайных величин.

Второй способ описания случайного процесса.

Реализуем следующую модель: имеется некоторое множество функций

Рассматриваемое явление во времени может развиваться по одной из перечисленных функций, по какой именно в данной реализации, в данном опыте исследователю неизвестно, и нет оснований закономерно выбрать эту реализацию. Выбор по которой из реализаций будет развиваться наблюдение определяется результатом случайного эксперимента.

Какой случайный исход произойдет в реализации . Пользуясь однозначным соответствием между номером элементарного исхода и номером функции считают, что в этом случае процесс будет развиваться по функции

.

Неизвестно по какой из этих функций будет из меняться явление. Всякая совокупность функций образует случайный процесс. В результате эксперимента встретился результат - это означает, что мы провели случайный эксперимент и на этом случайность исчерпана, далее все будет развиваться по формуле. Номер элементарного исхода соответствует номеру функции из множества х.

Функция называетсявыборочной. В таком представлении случайный процесс определяется как множество выборочных функций. Явление развивается по выборочным функциям. После того, как такой подход определен, возникает вопрос о выборе выборочных функций. Ответ на этот вопрос связан с профессиональной деятельностью инженера. В электротехнике в состав таких символических образных функций вводят гармонические функции. (cosx, sinx).

Зная выход и вход можно определить свойства характеристик. Структуру можно построить из более простых, элементарных блоков. Нужно выбрать в качестве тестовой функции некоторую функцию. Будем использовать в качестве тестовой функции гармоническую функцию.

Разложение случайного процесса по координатным функциям.

Из предыдущего пункта становится ясной необходимость представления случайного процесса Ф(t) в виде специальных функций “приспособленных” к анализирующей деятельности специалиста в данной предметной области.

Так, например, в области электротехники, теории управления связи широкое распространение в качестве тестовых функций широко используются гармонические функции. В других областях используются другие наборы функций - полиномы Чебышева и т.д. В общем случае говорят о координатных функциях – разложение по координатным функциям.

Запишем формальное определение этой задачи: будем рассматривать такие случайные процессы, которые можно представить в виде суммы

, где - случайная величина, дисперсия, которая известна,

- известная координатная функция.

Для того чтобы проводить анализ перейдем к центрированному случайному процессу, т.е. вычтем из этого процесса математическое ожидание, тогда останется только сумма.

, такая неслучайная функция является корреляционной функцией – это математической ожидание от произведения двух сечений.

Можно использовать теорему об операторах математического ожидания и суммирование запишем = что бы выделить особенность правой части выделим слагаемые =. Необходимо исследовать особенности суммы. Выделим те слагаемые, в которыхi=j и запишем в виде первого слагаемого.

- математическое ожидание от произведения двух случайных величин , можно считать, что это центрированные случайные величины, так как их математическое ожидание равно 0.

- корреляционный момент. Если все случайные величины попарно некоррелированны, то корреляционный момент для каждой пары равен нулю, то остается только первая часть

Правило построения корреляционной функции.

Нужно знать дисперсию и функцию. Поскольку представление не приятно в практическом смысле, то вводят упрощение. Рассмотрим разложение корреляционной функции по гармоническим функциям для стационарных случайных процессов. Функции- это гармонические функции. Стационарный процесс в широком смысле означает, что математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени,

Чтобы получить описание такого процесса, нужно обратить внимание на особенности функции корреляции. Разложение зависит от вида функции корреляции, аргументом которого выступает .

Различают два типовых вида функции корреляции:

1)когда функции корреляции симметрична относительно оси координат и затухает на интервале времени Т.

k()

-Т Т

Если такой случайный процесс обладает такой функцией корреляции, то его называют квазипериодическим.

Выделим особенности процесса. Для того, что бы это сделать, разложим функцию корреляции в ряд Фурье. Это означает, чтоможем представить

= - четная функция.=будет содержать только четные функцииcosx. Коэффициент будет определяться как:

(**). Нужно выразить

В общем случае:

Случайные величины не коррелированны, поэтому вторую часть записывать ненужно.

Для случая в левой части - дисперсия случайного процесса.

Дисперсия случайного процесса, координатными функциями которого являются гармонические функции, а координатные коэффициенты не коррелированны, равна сумме дисперсий координатных коэффициентов. Смысл выражения (**) устанавливает i-я координатная функция cosw. Представим этот результат в виде графика:

D

Dwwww

W

Рис.1.

T – определяем по графику функции корреляции. Рассчитываем D. С ростом w величина D уменьшается (рис.1) – спектр стационарного квазигармонического случайного процесса.

Свойства.

1. Спектр дискретен. Гармоническая функция с фиксированными частотами.

2. Выделяем ту частоту w, дисперсией координатного коэффициента, которого можно пренебречь. Эту частоту определяем как ширину спектра случайного процесса:

Практический смысл ширины спектра состоит в том, что эта величина определяет набор квазигармонических, несущих основную мощность сигнала., моделью которой является случайный процесс. Очень часто случайные процессы являются моделями. Случайный процесс – это абстрактный объект.