8.2. Предельная величина поступающей нагрузки.

В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на КС может поступать только такой поток, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. По аналогии с системами обслуживания с ожиданием в системе с повторными вызовами необходимо ввести ограничение

эрл.

Величина поступающей нагрузки на одну линию определяется следующей формулой

,

где: - средняя суммарная длительность занятий линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что источник может производить и повторные вызовы. Эта величина также должна учитывать те вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, то есть не завершаются разговором;

c – интенсивность потока первичных вызовов в течении часа.

Очевидно, что на величину влияют только те вызовы, которые попадают по крайней мере на первый этап обслуживания.

Тогда среднее время обслуживания одного такого вызова составит

обозначая через L среднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова искомая величина определяется следующим выражением

(8.2)

Определим величину L. Вызов, поступивший на первый этап обслуживания с вероятностью не попадает на второй этап и с вероятностьюH совершает повторный вызов. Следовательно с вероятностью поступает повторный вызов. Продолжая эти рассуждения можно записать

(8.3)

Заметим, что если , то

(8.4)

из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности и не зависит параметрапотока повторных вызовов.

Используя выражения 8.2-8.4 можно поставить в виде.

эрл., если H=1 (8.6)

Выражения 8.5 и 8.6 определеяют предельную величину интенсивности поступающей на одну линию пучка нагрузки.

8.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами.

Учитывая, что процесс обслуживания КС первичных и вторичных вызовов является марковским, можно утверждать, что за время с конечной вероятностью возможны следующие события :

• поступление одного первичного или одного повторного вызова;

• окончание первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка;

• прекращение одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания.

Вероятность поступления за время одного первичного вызова определяется ранее (см. раздел 1.4) и составляетаналогично вероятность поступления вторичного вызова при наличии К ИПВ

Вероятность окончания за время первого этапа обслуживания одной изi занятых таким обслуживанием линий (см. раздел 3.2)

Аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j-1) занятых таким обслуживанием линий равна

Вероятность прекращения одним из (К) ИПВ существования равна

Перечисленные выше ординарные переходы системы с повторными вызовами иллюстрируются на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Возможные переходы из соседних состояний в состояние (i,j,K).

Обозначения, используемые на рисунке :

i – число линий, занятых первым этапом обслуживания,

j – число линий, занятых первым и вторым этапом обслуживания,

(j-i) – число линий, занятых вторым этапом обслуживания,

K – число ИПВ

- параметр распределения времени обслуживания вызова на первом этапе,

- параметр распределения времени обслуживания вызова на втором этапе.

- параметр распределения времени “размышления” абонента.

На оси времени отложим отрезок . Нас интересует вероятность того, что что в моментсистема будет находиться в состоянии (i, j, K). Возможны следующие ординарные переходы в это состояние (см. рис. 8.1). Выясним вероятности этих переходов.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7-е состояние соответствует случаю, когда за ничего не происходит.

Суммируя перечисленные вероятности, получаем исходную систему уравнений

при этом:

Эту систему, учитывая диапазон изменения переменных, необходимо дополнить уравнениями, когда в системе заняты все линии обслуживания первого и второго этапов, то есть j=V. Это состояние системы (i,V,K), а соответствующие вероятности - .

Над описанной системой уравнений производятся такие же преобразования (см. раздел 3.2), получаем выражение определяющее вероятность , того что система в любой произвольный момент времени находится в состоянии (i,j,K).