3.5 Обслуживание примитивного потока вызовов

Примитивный поток является частным случаем симметричного потока, поэтому воспользуется полученными ранее выражениями для .

.

Преобразуем числитель

.

Преобразуя по аналогии знаменатель, получим

; .

Потери по вызовам

,

.

Тогда

.

В приведенных выражениях - параметр потока одного свободного источника. На практике удобнее пользоваться величиной- удельной нагрузкой, поступающей от одного источника. Найдем связь междуи. Для этого рассмотрим систему без потерь. В этом случае достаточно ограничиться рассмотрением однолинейной модели, т.е..

В этом случае величина может трактоваться как вероятность занятости линии в однолинейном пучке -.

или .

Преобразуем полученные выше выражения для , используя величину,

.

Потери по времени

.

Потери по вызовам

.

Потери по нагрузке

; ;.

Подставляя полученные выражения для ив формулу для потерь по времени, после преобразований получим

.

Полученные выше выражения для вероятностей называются формулами Энгсета. Выражения для итабулированы [13]. При пользовании таблицами Энгсета следует иметь ввиду следующее.

Поскольку функции

и ,

имеют один и тот же вид, то изменяя число источников можно по одной какой-либо таблице получить оба вида потерь. Из приведенных выражений видно, что в модели Энгсета потери по времени больше потерь по вызовам, которые, в свою очередь, больше потерь по нагрузке

.

Сравним с первой формулой Эрланга, в которой

.

Рекуррентные соотношения

Найдем отношение

.

Откуда

.

Порядок определения вероятностей по рекуррентной формуле следующей. По таблицам Энгсета [13] определяет вероятность. Далее, уменьшая переменную, последовательно находят

.

Правильность вычислений проверяют при помощи правила нормировки

.

Графическая иллюстрация

Полученные в разделе аналитические выражения проиллюстрируем графически. На рисунке 3.3 приведена зависимость поступающей на пучок емкостью линий нагрузки при различном числе источников нагрузки и фиксированных потерях.

Рисунок 3.3 – Зависимость .

Из рисунка видно, что:

- При увеличении емкости пучка при фиксированном числе источников нагрузкии потеряхвеличина поступающей на пучок нагрузкиувеличивается.

- При фиксированных ис уменьшением числа источников нагрузки, поступающая на пучок нагрузка увеличивается. Наименьшая ее величина имеет место при, что соответствует простейшему входящему потоку.

На рисунке 3.4 изображена зависимость при различном числе источников нагрузки и фиксированных потерях.

Рисунок 3.4 – Зависимость

Из рисунка 3.4 видно, что с увеличением числа источников при фиксированных потеряхпропускная способность каждой линии уменьшается. Это означает, что примитивный поток обслуживается «лучше», чем простейший.

3.6 Вопросы для самоконтроля

• Запишите формулы Эрланга и Энгсета с помощью условных обозначений Кендалла-Башарина. Поясните смысл входящих в них символов.

• Выпишите выражения для при обслуживании симметричного потока вызовов. Прокомментируйте их.

• Приведите первую формулу Эрланга. Поясните смысл входящих в нее величин. Определите область применения этой модели.

• Определите основные моменты распределения первой формулы Эрланга ( интенсивность поступающей, обслуженной, потерянной нагрузки; дисперсию поступающей и обслуженной нагрузки). Проведите их сравнение.

• Сформулируйте методику определения и приведите аналитические выражения для определения удельной пропускной способности каждой линии пучка при упорядоченном их занятии.

• Приведите формулы Энгсета для вероятностей . Укажите связь между ними.

• Опишите область применения модели Энгсета и сравните ее с моделью Эрланга.

• Проиллюстрируйте графически формулу Энгсета. Сделайте соответствующие выводы.