3.2 Обслуживание симметричного потока вызовов

Под симметричным потоком понимается поток с простым последействием, параметр которого в любой момент времени определяется числом занятых линий в коммутационной системе - .

Постановка задачи

Дано: П – входящий поток симметричный с параметром - ;

- КС однозвенная полнодоступная;

D – дисциплина обслуживания с явными потерями;

- закон распределения промежутков между вызовами показательный;

- закон распределения времени обслуживания вызовов показательный.

Определить:

- вероятность того, что в системе занято точно линий в любой произвольный момент времени;

- вероятность потерь по вызовам;

- вероятность потерь по времени.

Решение

Обозначим на оси времени отрезок

и на первом этапе решения задачи определим вероятности .

Возможные переходы системы за промежуток сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1 – Вероятности переходов

Момент	Промеж.	Момент	Вероятность перехода
… … …	-

Величины в таблице учитывают вероятности неординарных переходов.

Очевидно, что

.

Последнее выражение при разных принимает следующий вид

,

…

,

…

.

Итак, получена система уравнений. Число уравнений в системе и неизвестны вероятностии. Найдем их.

определим, используя выражение для параметра потока

.

Тогда .

Величина прямо пропорциональна числу занятых выходов системы и длине промежутка(будет доказана ниже).

.

Перепишем систему уравнений с учетом полученных выражений

,

…

,

…

.

Решаем полученную систему уравнений. Для этого выполняем следующие операции:

- Раскрываем скобки;

- Произведение на единицу переносим из правых частей в левые;

- Разделим обе части уравнений на ;

- Возьмем предел от обоих частей при .

После выполнения указанных преобразований, устремляя , в левой части уравнений получаем

.

Тогда система уравнений принимает вид

,

…

,

…

.

Решаем систему уравнений. Из первого уравнения ,

. Откуда .

. .

Выдвигаем гипотезу о том, что решение системы в общем виде следующее

; .

Подставляя выражение для в последнее уравнение системы и разрешая его относительноимеем

, что подтверждает справедливость гипотезы.

В полученных выражениях неизвестна вероятность . Для ее определения восиспользуемся условием нормировки.

.

Подставляя в последнее уравнение выражение для , разрешаем его относительно, получаем

.

Окончательно

.

Потери по времени

.

Определим потери по вызовам. Согласно определению (отношение интенсивностей потерянного к поступающему потокам вызовам).

; .

Окончательно

.

Таким образом, определены величины:

- - вероятность занятости точнолиний в произвольный момент времени;

- - потери по времени;

- - потери по вызовам.

3.3 Обслуживание простейшего потока вызовов

Простейший поток является частным случаем симметричного потока. Его параметр не зависит от состояния системы и является для данного потока величиной постоянной.

Постановка задачи

Дано: - входящий поток-простейший с параметром;

- КС однозвенная, полнодоступная;

- дисциплина обслуживания с явными потерями;

- закон распределения промежутков между вызовами (показательный);

, - закон распределения времени обслуживания вызовов (показательный).

Определить:

- вероятность того, что в системе занято точно линий в произвольный момент времени;

- потери по времени;

- потери по вызовам;

- потери по нагрузке.

Решение

В силу того, что простейший поток является частным случаем симметричного все выражения, полученные в предыдущем разделе справедливы и для этой модели.

, . Тогда

. Потери по времени -

. После преобразований .

По условию задачи постоянная обслуживания . Следовательно, среднее время обслуживания вызова. В этих условиях очевидно равенство интенсивности поступающей на КС нагрузки и входящего параметра потока вызовов.

Следовательно,

; .

Приведенные выражения называются первой формулой Эрланга. Условное обозначение первой формулы Эрланга - или. Найдем потери по нагрузке

.

Следовательно,

.

Это выражение называется приведенной формулой Эрланга. Она табулирована. Соответствующие таблицы называются таблицами Пальма [11].

Определим интенсивность обслуженной нагрузки

.

Дисперсия поступающей нагрузки

.

Дисперсия поступающей нагрузки равна ее математическому ожиданию.

Дисперсия обслуженной нагрузки:

. Подставляя в это выражение , после упрощения получим.

Откуда следует, что дисперсия обслуженной нагрузки меньше ее математического ожидания. Таким образом, обслуженная нагрузка имеет меньший диапазон колебаний, т.е. имеет более выровненный характер по сравнению с поступающей нагрузкой. Это означает, что дисперсия потерянной нагрузки больше ее математического ожидания.