Теоретическая Информатика

3. Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка задается на координатной плоско- сти следующей формулой со степенями второго порядка:

x2 + a1y2 + a2xy + a3x + a4y + a5 = 0.

Этим уравнением описываются эллипсы, окружности, ги- перболы, параболы и прямые. Прямая — частный случай кри- вой второго порядка.

Указав пять параметров a1—a5, всегда можно вычислить x по заданному y(рис. 4.21а и б). Чтобы определить отрезок кривой второго порядка, потребуется еще два параметра (рис. 4.21в).

Рис. 4.21. Задание на координатной плоскости кривой второго порядка: а) эллипса; б) параболы: в) отрезка параболы

4. Кривая третьего порядка.

Кривые второго порядка неудобны тем, что не имеют точек перегиба — точек кривой, в которых меняется направление изгиба.

Кривая третьего порядка может иметь одну точку переги- ба. Например, график кубической параболы y = x3 имеет одну точку перегиба в начале координат (рис. 4.22а).

Кривые третьего порядка, как самые простые, имеющие точку перегиба,— основа изображения в векторной графике природных объектов: линий человеческого тела, контуров пе- ресеченной местности, очертания растений…

Все кривые второго и первого порядка являются, конечно, частными случаями кривых третьего порядка.

Кривая третьего порядка задается на координатной плос- кости следующей формулой со степенями третьего порядка:

x3 + a1y3 + a2x2y + a3xy2 + a4x2 + a5y2 + a6xy + a7x + a8y + a9 = 0.

Указав девять параметров a1—a9, всегда можно вычислить x по заданному y (рис. 4.22а и б). Чтобы определить отрезок та- кой кривой, потребуется еще два параметра (рис. 4.22в).

Рис. 4.22. Задание на координатной плоскости кривой третьего порядка: а) кубической параболы; б) кривой третьего порядка;

в) отрезка кривой третьего порядка

2°. К р и в ы е Б е з ь е

Пьер Этьен Безье (Bézier) занимался автоматизирован- ным проектированием кузовов в автомобильном концер- не «Рено». Исследуя построение сложных поверхностей, предложил метод расчета кривых третьего порядка, хотя они являются частными случаями многочлена, состав- ленного советским математиком Бернштейном.

Кривые Безье задаются параметрически.

Параметрическое задание кривой — запись уравнения кривой с параметром, который меняется вдоль кривой (рис. 4.23а).

Координаты точки R(x, y) кривой Безье зависят от девяти чисел: параметра t и координат следующих четырех точек:

1)точек P0(x0, y0) и P3(x3, y3) концов кривой Безье (рис. 4.23б);

2)точек P1(x1, y1) и P2(x2, y2) концов касательных к точкам P0

иP3, направленных внутрь кривой Безье (рис. 4.23б).

Эта зависимость следующая (при t = 0 R = P0, при t = 1 R = P3):

R = P0(1 − t)3 + P1t(1 − t)2 + P2t2(1 − t) + P3t3, 0 t 1.

Т. е. координаты текущей точки кривой Безье R(x, y) равны:

x= x0(1 − t)3 + x1t(1 − t)2 + x2t2(1 − t) + x3t3, 0 t 1,

y= y0(1 − t)3 + y1t(1 − t)2 + y2t2(1 − t) + y3t3, 0 t 1.

P1(x1, y1)

0 t = 1 x 0 P3(x3, y3) x

Рис. 4.23. а) Задание параметрической кривой с параметром 0 t 1 б) Задание текущей точки R параметрической кривой Безье

по четырем точкам P0, P1, P2 и P3 и параметру 0 t 1

3°. У п р а ж н е н и я 1. Нарисуйте составные объекты с рис. 4.24а, используя ми-

нимум отрезков и прямоугольников, а при разных вариантах с одним минимумом — минимум прямоугольников.

Рис. 4.24. Составные объекты из отрезков и прямоугольников

2.То же задание для рис. 4.24б.

3.Нарисуйте составные объекты с рис. 4.25а, используя ми- нимум отрезков, треугольников и параллелограммов, а при разных вариантах с одним минимумом— минимум паралле- лограммов и треугольников.

Рис. 4.25. Составные объекты из отрезков, треугольников и паралле- лограммов

4.То же задание для рис. 4.25б.

5.Приведите подобные по параметру t в уравнениях, за- дающих кривую Безье, и запишите координаты x и y текущей точки кривой Безье как многочлены третьего порядка по t.

§3. Звук

1.Характеристики звука

1°. З в у к , е г о ч а с т о т а и г р о м к о с т ь . Б е л и д е ц и б е л

Звук — механические колебания плотности воздуха около положения равновесия.

Колебания звука распространяется в воздухе и переносят энергию. В космосе, в безвоздушном пространстве, звука нет. На Луне воздух также отсутствует, поэтому и на Луне звук не распространяется над поверхностью Луны (в грунте звук мо- жет распространяться).

Схематически распространение звука от источника показа- но на рис. 4.26. Сгущение воздуха показано черным цветом, разрежение — белым, воздух нормальной плотности — серым. Имейте в виду, что звук не переносит воздух: молекулы возду- ха колеблются на одном месте около положения равновесия.

Ис-

точни

Рис. 4.26. Распространение звука от источника и его изображение

ввиде синусоиды. Темные кольца — сгущение воздуха, белые — разрежение воздуха, серые — нейтральная плотность воздуха

Источником звука может быть любой объект, генерирую- щий колебания воздуха: фортепиано, мотор или человек.

Рассмотрим два основных параметра звука — частоту и громкость.

Частота звука — количество колебаний плотности воздуха за одну секунду. Измеряется в герцах: Гц.

Период звука — разность по времени между соседними мак- симумами колебаний звука. Измеряется в секундах: с.

Повышение звука — увеличение частоты звука. Понижение звука — уменьшение частоты звука.

Высокие частоты — большие частоты: от 10 КГц до 20 КГц. Низкие частоты — маленькие частоты: от 16 Гц до 1 КГц. Ультразвук — звук с частотой выше 20 КГц.

Инфразвук — звук с частотой ниже 16 Гц.

Частоту звука называют также его высотой. Отсюда и воз- никают понятия «повышение» и «понижение» звука.

Частота и период — обратные величины: период равен единице, деленной на частоту.

Человек слышит достаточно высокочастотные колебания воздуха. Считается, что люди слышат колебания воздуха от 16 Гц до 20 КГц, т. е. от 16 колебаний до 20 тысяч колебаний в секунду. Отсюда и возникают понятия «ультразвук» и «ин- фразвук».

Скорость звука в воздухе не такая уж и большая. По- этому при движении источника или приемника звука слышимая частота звука может изменяться. Когда ис- точник и приемник движутся навстречу друг другу, на- пример, когда едешь во встречном поезде, звук стано- вится выше, удаляются — ниже.

Амплитуда звука — отклонение значения плотности возду- ха от равновесия.

Громкость звука — величина разности между максимальной и минимальной плотностью воздуха. Измеряется в децибелах: дБ.

Громкость звука называют также уровнем, силой, или интен-

сивностью, звука.

Амплитуда звука изменяется в соответствии с его частотой (рис. 4.26). В отличие от амплитуды громкость изменяться го- раздо медленнее; постоянная громкость вообще не меняется.

Разберемся, что означает единица измерения бел. Человек слышит не давление воздуха, а разность давлений, которая пульсирует с частотой от 16 Гц до 20 КГц. Разность давлений воздуха, т. е. громкость звука, является энергией.

Громкость звука — количество заключенной в звуке энер- гии, точнее, поток энергии через единичную площадку. Так определенная громкость звука измеряется в ваттах на квад- ратный метр: Вт/м2.

Громкость наиболее тихого звука, слышимого человеком, равна 10−12 Вт/м2. Один из наиболее громких звуков, который может воспринимать человек без риска для здоровья,— шум реактивного самолета, пролетающего на расстоянии 50 м,— имеет громкость 10 Вт/м2.

Таким образом, отношение громкость самого громкого зву- ка к самому тихому составляет 10/10−12 = 1013.

Записывать звук в единицах Вт/м2 неудобно: слишком большой разброс порядков, т. е. показателей степени у числа 10,— до 13: от −12 до 1. Поэтому звук обычно измеряют в этих показателях степени.

Бел — логарифмическая единица измерения громкости звука, когда при изменении громкости в 10 раз бел изменяется на 1. Причем 0 бел = 10−12 Вт/м2. Обозначение: Б.

Децибел — одна десятая бела. Обозначение: дБ.

Итак, 10−12 Вт/м2 = 0 Б = 0 дБ,

10−11 Вт/м2 = 1 Б = 10 дБ, 10−10 Вт/м2 = 2 Б = 20 дБ,

…

1 Вт/м2 = 12 Б = 120 дБ, 10 Вт/м2 = 13 Б = 130 дБ.

Децибелы применяются вместо белов для того, чтобы вы- ражать громкость звука целыми, а не дробными, числами.

Таким образом, громкость наиболее тихого звука, доступ- ного восприятию человека, равна 10−12 Вт/м2 = 0 дБ, шум реак- тивного самолета, пролетающего на расстоянии 50 м,— 10 Вт/м2 = 130 дБ.

2°. Д и н а м и к и м и к р о ф о н . М н о г о к а н а л ь н ы й з в у к

Самая простая схема воспроизведения и восприятия звука, при которой имеется один источник и один приемник звука, показана на рис. 4.27.

Источник можно представить в виде мембраны, колебания которой создают сгущение и разрежение воздуха, т. е. звук.

Приемник также можно представить в виде мембраны, ко- лебания которой под действием звука преобразуются в соот- ветствующие импульсы приемника, возможно электрические.

Рис. 4.27. Генерация и фиксация звука

Динамик — искусственный источник звука. Микрофон — искусственный приемник звука.

«Живой» звук — звук, поступающий непосредственно от ес- тественного источника звука, а не с микрофона или с записи.

Динамик также называется телефоном.

Не перепутайте телефон как источник звука с быто- вым телефоном для переговоров, в состав которого вхо- дят, между прочим, и микрофон, и динамик.

У человека имеется два уха, и он может, слегка поворачивая голову, установить направление и расстояние до источника звука. Поэтому при воспроизведении звука обычно использу- ют как минимум два динамика, создавая впечатление не- скольких источников.

При прослушивании звука на двух динамиках имеются следующие особенности восприятия:

1)создается эффект пространственного расположения му- зыкальных инструментов в оркестре;

2)применяются различные стереоэффекты.

Монозвук — звучание одного динамика.

Стереозвук — звук, воспроизводимый через два динамика, причем каждый динамик звучит по-своему.

Стереоэффекты — при прослушивании стерео кажущееся размещение нескольких источников звука в разных местах между двумя динамиками и/или движение этих источников.

Квадрозвук — звук, воспроизводимый через четыре динами- ка, причем динамики звучат по-разному.

Многоканальный звук — звук, воспроизводимый через не- сколько разнозвучащих динамиков.

Канал — место записи звука на материальном носителе, на- пример, на магнитной ленте, для одного динамика.

Монозвук также называется просто моно, стереозвук — стерео, квадрозвук — квадро. Канал также называется дорожкой (имеется в виду дорожка при записи звука на магнитном носи- теле, например, магнитной пленке).

Если динамики будут звучать одинаково, то, конечно, ни- какого стерео, квадро и тем более многоканального звука не получится.

Для воспроизведения многоканального звука его необхо- димо перед этим записать на соответствующее число каналов, которые звучат по-разному.

Идеальная запись концерта получается с двух мик- рофонов, закрепленных на месте ушей манекена, сидя- щего в зале. Слушать такое стерео лучше, конечно, на головных телефонах.

3°. У п р а ж н е н и я 1. Определите период звука частотой:

а) 16 Гц; б) 20 Гц; в) 100 Гц; г) 1000 Гц; д) 10 КГц; е) 20 КГц. 2. Переведите из децибел в Вт/м2:

а) 25 дБ; б) 50 дБ; в) 75 дБ; г) 100 дБ.

Многие реальные физические процессы хорошо модели- руются непрерывными функциями, которые заданы на мно- жестве непрерывных величин. При этом изменение физиче- ской величины от одного значения к другому происходит по- степенно и включает все промежуточные значения.

Непрерывное множество — несчетное множество значений какой-нибудь физической величины, которые она принимает с течением времени.

Аналоговый звук — запись звука в виде непрерывного мно- жества значений амплитуды.

Непрерывное множество называется также континуальным множеством, или просто континуумом, а аналоговый звук —

непрерывным, или континуальным, звуком.

Как известно (см. рис. 4.26 и 4.28), звук моделируется функ- цией амплитуды отклонения плотности воздуха от равнове- сия, которая зависит от времени.

Амплитуда

0

Время Рис. 4.28 Звук как аналоговая функция амплитуды, зависящая от времени

Примерами аналоговой записи звука являются запись на магнитной пленке или грампластинке.

Для устранения многочисленных недостатков аналоговой записи, а также для приведения информации к виду, пригод- ному для хранения на компьютере, аналоговый или сразу «живой» звук преобразуют в цифровую форму, т. е. проводят

аналого-цифровое преобразование.

Аналого-цифровое преобразование — алгоритм преобразова-

ния «живого» звука или его аналоговой записи в цифровую форму.

Аналого-цифровое преобразование состоит из двух шагов:

1)дискретизация звука;

2)квантование звука.

Сначала проводится дискретизация звука, которую и рас- смотрим (см. также рис. 4.29).

Дискретизация звука — преобразование непрерывного по времени звука в последовательность значений амплитуды, из- меренной в отдельные моменты времени.

Отсчет — значение момента времени, в который произво- дится измерение амплитуды звука. Измеряется в секундах: с.

Выборка отсчетов — множество всех отсчетов.

Период дискретизации — отрезок времени между двумя со- седними отсчетами. Измеряется в секундах: с.

Дискретизация звука также называется дискретизацией звука по времени, или квантованием звука по времени. На самом деле от-

дельно взятые термины «дискретизация» и «квантование» — синонимы. Выборку отсчетов называют также просто выборкой.

На рис. 4.29 схематично показана дискретизация аналого- вого звука, приведенного на рис. 4.28.

Амплитуда

Период

дискретизации

Отсчеты

Время

Рис. 4.29. Дискретизация аналогового звука

Звук по-прежнему зависит от времени, но его громкость из- вестна только в отдельные, дискретные моменты времени. Как и при аналоговом звуке, каждому моменту времени должно соответствовать только одно значение амплитуды.