Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)	Число сотрудников (чел.)
до 25 25 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 и более	8 32 68 49 21 3
Итого:	181

Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст работников данного предприятия:

Средняя гармоническая.

Пример 1. Рассмотрим применение средней гармонической на конкретном примере. Предположим, наблюдая за работой пяти рабочих в течение одного часа мы получили следующие данные о затратах ими рабочего времени на изготовление одной детали (x) в часах: 0,2; 0,3; 0,3; 0,5; 0,5.

Требуется рассчитать среднее время, затрачиваемое одним рабочим на изготовление детали.

Решение

Для решения необходимы данные об общих затратах времени всех пяти рабочих и о числе выработанных за это время деталей. Будем исходить из предположения, что рабочие работали один час. Тогда общие затраты времени составят 5 человеко-часов. За это время первый рабочий выработает 1/0,2=5 деталей, второй и третий по 1/0,3=3,3 детали, а четвертый и пятый по 1/0,5=2 детали. Все вместе они выработали 15,6 деталей. В среднем на одну деталь затрачивалось 5/15,6=0,32 часа. Если все расчеты представить в виде формулы, то последняя и будет представлять собой среднюю гармоническую простую:

Пример 2. (Кильдишев) Рассмотрим следующий пример. Один рабочий в течение 8 час. работы затрачивал на изготовление детали 2 мин., второй 6 мин. Сколько времени в среднем двое рабочих затрачивали на производство детали?

Решение

1) Вычислим среднее арифметическое время: (2+6)/2=4. Рассуждаем далее. Если в среднем на одну деталь затрачивается 4 минуты, то в час будет производиться (60/4)=15 деталей, а за 8 часов 120 деталей. Двое рабочих в течение дня произведут 2*120 = 240 деталей. Этот расчет произведен с помощью средней арифметической.

2) Рассуждаем по-другому, используя индивидуальные нормы выработки. Первый рабочий за час производит (60/2) = 30 деталей, а за 8 часов – 240 деталей. Второй – за час (60/6) = 10 деталей, за 8 часов – 80 деталей. Следовательно, за день оба рабочих произведут 240+80=320 деталей, а не 240 как мы нашли по методу средней арифметической. Значит ли это что средняя арифметическая неверна? Нет, просто выбрана не та средняя, которую надо применять в данном случае.

Чтобы отыскать нужную нам среднюю будем рассуждать так. Найдем норму времени на выработку одной детали как ,

где t – время, затраченное отдельным рабочим;

q – количество продукции, выработанной отдельным рабочим.

Этот расчет и формула будут верны независимо от того, что принять за единицу времени. Если норму исчисляем в минутах или часах, то затраченное время так же выражается в минутах или часах. Количество изделий нам неизвестно, но его можно рассчитать, разделив затраты времени отдельных рабочих на их индивидуальные нормы.

Средняя норма как отношение затрат времени ко всему количеству деталей равняется: N=120/40=3 (мин).

120 мин – это 60*2, 40 это – число деталей за час, произведенное двумя рабочими. Таким образом, средняя норма времени составит 3 минуты.

Если рабочий вырабатывает изделие за 3мин., то за час он изготовит 20 изделий, за смену –160, а вдвоем – 320!

Расчеты можно представить в виде средней гармонической невзвешенной:

, где - затраты времени на одну деталь.

В целом ряде случаев применение средней арифметической или средней гармонической определяется лишь наличием исходных данных.

Пример 3. Рассмотрим следующие данные о реализации продукта одного вида на трех рынках:

Рынки	Цена за ед.продукции (руб.) Х	Количество проданной продукции, шт. f	Выручка от продажи, руб. М
I	0,30	1000	300
II	0,35	2000	700
III	0,40	2000	800
Итого	-	5000	1800

Требуется рассчитать среднюю цену, по которой продавался товар.

1) Предположим, мы располагаем только данными о ценах на трех рынках и о количестве товара, проданного на каждом их них. При этом цены на отдельных рынках выступают в качестве вариантов, а количество проданного товара – в качестве весов. Тогда средняя цена определится по по средней арифметической взвешенной, то есть

2) Теперь предположим, что количество проданного товара неизвестно, а известны лишь цены и выручка от продажи. В этом случае логические рассуждения остаются теми же, но расчет следует записать в форме средней гармонической взвешенной.

Выручка от продажи определенного вида товара – не что иное, как . Частное от деления выручки от продажи на цену за ед. продукции по определенному виду продукции даст нам частоту:, тогда формула для расчета средней величины приобретает вид средней гармонической взвешенной:

Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf.

Результат, как и следовало ожидать, получился тот же.

Пример 4. Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре ХХ года по данным следующей таблицы: