Виды и формы средних величин

Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, являясь обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции:

f (х₁, х₂, ..., х_n)    (5.1)

Так как данная величина, в большинстве случаев, отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего показателя.

Если в приведенной выше функции все величины х₁, х₂, ..., х_n заменить их средней величиной , то значение этой функции должно остаться прежним:

(5.2)

Исходя из данного равенства и определяется средняя.

На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:

Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:

Однако от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины:

• средняя арифметическая;

• средняя гармоническая;

• средняя геометрическая;

• средняя квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k):

Общая формула степенной средней записывается следующим образом:

Изменение показателя степениk приводит в каждом отдельном случае к определенному виду средней.

При k = -1, получим среднюю гармоническую величину:

При k = 0 получим среднюю геометрическую (Вывод формулы в

учебнике ОТС Ефимова М.Р. стр. 94-95)

При k = 1 получим среднюю арифметическую:

При k = 2 – среднюю квадратическую

Ит.д. до любой степени.

Поскольку вариационные ряды обычно сгруппированы по одинаковым значениям признака, либо в интервалах его значений, то чаще для расчетов применяют формулы средних взвешенных. В этих формулах в качестве весов выступают значения частот.

Взвешенные формулы имеют вид:

Во всех формулах xi –индивидуальные значения признака; fi – частота повторения индивидуального значения признака, n – объем совокупности.

Степенные средние, исчисленные для одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Это отражено в правиле мажорантности средних.

Чем больше показатель степени, тем больше величина соответствующей средней:

Выбор вида степенной средней определяется экономическим содержанием задачи или наличием данных.

Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.