Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Украинская государственная академия железнодорожного транспорта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1545

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

452.97 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМЯ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ФУНКЦІЇ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Методичні вказівки і завдання

з дисципліни « Вища математика»

Харків – 2012

Завдання і методичні вказівки призначені для студентів технічних спеціальностей всіх форм навчання. Розглянуті і рекомендовані до друку на засіданні кафедри вищої математики УкрДАЗТ, від 11 жовтня 2010р. , протокол № 2

Укладачі:

Старші викладачи О.В. Рибачук, Ю.С. Шувалова

Рецензент професор Ю.В.Куліш

ВСТУП

Ці методичні вказівки присвячені одному з розділів курсу вищої математики – диференціальному численню функцій декількох змінних і його застосуванням. Методичні вказівки містять в мінімальному об'ємі виклад вузлових розділів теми, який може бути використаний для першого ознайомлення з матеріалом перед читанням підручника. Вивчення теоретичного матеріалу слід супроводжувати розв'язанням задач. Приклади з розгорнутими поясненнями допоможуть при виконанні контрольних (розрахунково-графічних) робіт. Корисно для закріплення навичок, крім свого варіанта, виконати завдання ще одного варіанта.

Методичні вказівки також містять список учбової літератури, і завдання контрольної роботи. Номер варіанта контрольної роботи видається викладачем. Залік контрольних (розрахунково-графічних) робіт згідно з учбовою програмою є необхідною умовою допуску студента до заліку або екзамену з курсу вищої математики. Робота, що містить виконаний чужий варіант завдань, не заліковується.

ФУНКЦІЯ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

Нехай D – довільна множина точок на площині R2. Якщо

кожній точці	P D	поставлено у відповідність за деяким
правилом “ f	” число z , то говорять, що на множині D задана
функція z = f (P).		Оскільки кожна точка однозначно

визначається своїми координатами, то z = f (x; y) , D R2, і ми приходимо до поняття функції двох змінних. Множина D

називається областю визначення функції, а x, y – незалежними змінними.

Аналогічно визначається поняття функції трьох змінних

u = f (x; y; z) (якщо D R3).
Функція	двох змінних	z = f (x; y) має	геометричне
зображення	– графік, який	складається з	усіх точок
(x; y; z) R3 таких, що (x; y) D ,		а z = f (x; y) . Як правило, графік

функції – деяка поверхня (рис. 1). Функція повністю визначається своїм графіком.

					Рисунок 1
	Приклади.		функції f ( x, y ) = ax + by + c буде
а)	графіком								площина
z = ax + bx + c ;					f ( x, y ) = x2		+ y2		z = x2 + y2
б)	графіком функції							буде параболоїд
(рис. 2);
в) графіком функції f ( x, y ) =
						x2	+ y2	буде поверхня порожнина
конуса z =
		x2 + y2		(рис. 3);
г)	графіком функції				f ( x, y ) = x2		− y2	буде сідло (гіперболічний
параболоїд) z = x2 − y2					(рис. 4).

	z = x2 + y2
	z = x2 + y2			z = x2 + y 2
				z = x2 + y 2
	y			y


0		x	0
x Рисунок 2.		x	Рисунок 3.
x Рисунок 2.			Рисунок 3.
	Парабола
	z = x2 , y = 0
	z
0			z = x2	− y2

x	y
x
	Парабола
	z = − y2 , x = 0
	Рисунок 4

ГРАНИЦЯ І НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ ДВОХ

ЗМІННИХ

Нехай функція z = f (P) = f (x; y) визначена в деякому околі точки P0 .

Околом точки P (x ; y ) R 2 називається будь-яке коло

) R3

з центром в точці P , а околом точки P (x ; y ; z

– будь-

яка куля з центром в точці P0 .

Позначимо через ρ(P0 ; P)

– відстань між точками P0 (x0 ; y0 )

та P(x; y) ,

ρ(P ; P) = (x − x

)2 + ( y − y

)2 .

Говорять, що

точка

наближається

до

точки

P0 (P → P0 ) , якщо в

процесі

зміни координат

точки

P(x;y)

D R2,

ρ(P0 ; P) → 0 , що можливе тоді і тільки тоді, коли одночасно x → 0, y → 0 .

Число B називається границею функції z = f (P) , при

P → P0

B = lim f ( x; y) =	l i m f ( x; y) ,
P→P0	x→ x0, y→ y0

якщо(B − F (P)) → 0 , коли ρ(P0; P) → 0 .

Функція z = f (x; y) називається неперервною в точці Pо, якщо визначено значення f (P0 ) = f (x0; y0 ) , і

lim f ( x; y) = f ( x0; y0 ) .

P→P0

Функція називається неперервною в області

якщо вона неперервна в кожній точці області D.

Визначення границі та неперервності функції декількох змінних аналогійні цим поняттям для функції однієї змінної. Тому справедливі всі правила граничного переходу, та всі елементарні функції декількох змінних неперервні в своїх природних областях визначення. Значить, можна переходити до границі під знаком функції, якщо ця функція елементарна і визначена в деякому околі граничної точки.

Приклади

а)	l i m	( x + 1) ln( x + 2 y)	=	(0 + 1) ln 2	= ln 2 .

	x → 0, y →1	cos( xy )		cos 0

б)	l i m	1		= +∞
		+ y2
	x→0, y→0 x2
				ЧАСТИННІ ПОХІДНІ
	Нехай z = f (x; y) – функція двох змінних. Зафіксуємо одну
із	змінних,		наприклад у, а другій надамо приріст x .

Частинним приростом функції за змінною x називається

величина	x z = f (x +	x; y) − f (x; y) .	Аналогічно визначається
частинний приріст за змінною у:			y z = f (x; y + y) − f (x; y) .
Якщо приріст отримують обидві незалежні змінні, то
різниця	z = f (x +	x; y + y) − f (x; y) називається повним
приростом функції.

x → 0 :

Частинною похідною від функції двох змінних z = f (x; y)

за змінною x (позначається				або	∂z	= ∂f	) називається
за змінною x (позначається	z	'= f	'	або	∂z	= ∂f	) називається
	x	x			¶x	¶x
					¶x	¶x

границя (якщо вона існує та скінченна) відношення частинного приросту функції за змінною x до приросту цієї змінної x при умові

∂z = l i m	x z = l i m	f (x + x; y) − f (x; y)	,

¶x Dx®0	Dx Dx®0	Dx

тобто похідна цієї функції, обчислена в припущенні, що інша змінна у фіксована.

Аналогічно визначається частинна похідна за у (x вважаємо фіксованим):

¶z

= l i m

D y z

= l i m

f (x; y + Dy) - f (x; y)

¶y

Dy®0

Приклади.

а) z = x2 + 3xy - 4 y 2

z ' = ( y = const) = ( x2

)' + 3 y( x ) '+ (4 y2

) '= 2 x + 3 y×1 + 0 = 2 x + 3 y,

z ' = ( x = const) = ( x2

+ 3 x( y ) '+ (4 y2 )

'= 0 + 3 x×1 + 8 y = 3 x + 8 y.

б)

Знайти частинні похідні функцій z = 5xy3 +

в точці (1; -1) .

xy3

= (5

)

= ( y = cos nst ) = 5

× ln5 × y -

z'x (1; -1) = 5−1 ln5( -1) -14 = -

ln5

-14 .

xy3

= (5

)

= ( x = cos nst ) = 5

× ln5 × 3xy

z'y

(1; -1) =

3ln5

;

в)

Знайти

частинні

похідні

функції

z =

x2 + y3

zx' ( y = const ) =

zy' ( x = const ) =

3y2

2 x2 + y3

+ y3

Частинні похідні функцій більш ніж двох змінних обчислюються в припущенні, що всі змінні фіксовані, окрім однієї, за якою і обчислюється похідна.

Приклад. u =

x 2

2 ′

2x y

′

(x )

ux ( y = const, z = const ) =

′

uy (x = const, z = const) =

(

y)y

2z y

−x2

u′

(x = const, y = const) =

= x2

y(z−1)′

= −x2

y z−2 =

ДИФЕРЕНЦІАЛ

Нехай функція

z = f ( x; y)

визначена в околі точкиP0 (x; y) ,

точка

P(x + x; y + y) лежить

в цьому

околі та

ρ = ρ(P0; P) –

відстань між точками P0 і P .

= f (x + x; y + y) − f (x; y) функції

Якщо

повний

приріст

z = f ( x; y) між точками

та

може бути представлено у

вигляді

∂f

df =

x +

y + ε (ρ )ρ ,

де ∂f

і ∂f

∂x

∂y

обчислюються в точціP , а ε(ρ) – нескінченно мала,

∂x

∂y

коли ρ → 0

(тобто коли P → P0 ), то функція f ( x; y)

називається

дифференційовною в точці P0 , а вираз

df =

∂f

x + ∂f

(1)

∂x

∂y

називається повним диференціалом функції f ( x; y) .

Оскільки прирости незалежних змінних x, у співпадають з

їх диференціалами

x = dx ,

y = dy , то

df =

∂f

dx +

∂f dy.

∂x

∂y

ТЕОРЕМА. Достатня умова диференційовності.

Якщо функція z = f ( x; y)

має в деякій області D R2 неперервні

частинні похідні zx '= f x '( x; y)

z y '= f y '( x; y) , то

вона в цій

області диференційовна.

Такі	функції		називаються		неперервно
диференційовними.
Для функції трьох змінних u = f ( x; y; z) диференціал
					(2)
		∂f	∂f	∂f	(2)
		df = ¶x dx +	¶y dy +	¶z dz

Приклад. Знайти повний диференціал функції а) u = (x3 + 2x2 y − 3y)sin z.

Обчислимо частинні похідні

ux' = (3x 2 + 4xy)sin z, uy' = (2x 2 − 3)sin z, uz' = (x 3+ 2x 2y − 3y) cos z .

Частинні похідні неперервні при всіх (x; у; z), тому за достатньою умовою диференційованості функція диференційовна в кожній точці площини і її повний диференціал за формулою (2) дорівнює:

du = (3x2 + 4xy)sin zdx + (2x2 − 3)sin zdy + (x3 + 2x2 y − 3y) cos zdz.

б) z = log2 (4x − 2 y) .								−2ln 2
	′	4ln 2			′	=

								.
Обчислимо частинні похідні zx =		4x −	2 y		; zy
								4x − 2 y
Повний диференціал dz =	4ln 2	dx +		−2 ln 2			dy.
	4x − 2 y
				4x − 2 y

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛА У НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕННЯХ

Для диференційовної в точці М0 ( x0 ; y0 ) функції f ( x, y )			має
місце наближена рівність:
			(3)
	Df ( x0 , y0 ) » df ( x0 , y0 )	f ( x, y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + df ( x0 , y0 )
Приклади.
а) Обчислити наближено 1.024.05 .
Розглянемо функцію z = x y , та обчислимо її частинні
похідні
z'x = yx y−1 , z'y = x y ln x .
Обчислимо значення z = x y та її частинних похідних в
точці А(1;4)
z( A ) =14 =1, z'x ( A ) = 4 ×13 = 4 , z'y ( A ) =14 ln1 = 0 .

Отже використовуючи формули (3), (1), та вважаючи прирости x = 0, 02 , y = 0,05 , маємо

1,024,05 = f (1,02; 4,05) »1 + 4 × 0,02 + 0 × 0,05 =1,08.

б) Для функції z = 2x2 + xy - 5 y2 + 7 y обчислити наближене значення z1 функції в точці B(1,01; −2,97) , спираючись на

значення z0	функції в точці A(1; −3) , замінивши приріст функції
при переході від точки A до точки B диференціалом.
Обчислимо частинні похідні
′	′
zx = 4x	+ y , zy = x -10 y + 7 .

Обчислимо значення функції ( z0 ), та значення частинних

похідних у точці А

z( A) = 2 ×12 +1× (-3) - 5 × (-3)2 + 7 × (-3) = 2 - 3 - 45 - 21 = -67 ,

′	= 4 ×1 - 3 = 1,	′	= 1 -10 × (-3) + 7 = 38.
zx		zy

Оскільки прирости незалежних змінних при переході від точки А до точки В дорівнюють x = 0, 01, y = 0,03, то за формулами (1) та (3) маємо

z1 = z(B) » -67 +1× 0, 01 + 38 × 0, 03 = -65,85.

Зауваження. Усі вимірювання фізичних величин пов’язані з похибками. Припустимо, що величини x та y виміряні з

максимальними абсолютними похибками δ x			і δ y	відповідно.
Це означає, що в	експерименті	отримані	такі	результати
x = x0 ± δ x, y = y0 ± δ y .	Потрібно за	цими даними		отримати

формулу для обчислення максимальної абсолютної похибки

при непрямому

(косвенному)

вимірюванні

величини f ( x, y ) .

Припустимо,

що

x і

істинні

похибки

при вимірюванні

величин x і y . Оскільки

£ d x,

£ d y , то

Df ( x , y

)

df ( x ,

)

f ' ( x ,

)

f ' ( x , y )

0 0

f ' ( x , y

)

d x +

' ( x , y

)

d y

і природно визначати максимальну абсолютну похибку

величини f ( x, y ) таким чином:

d f =

f ' ( x , y

)

d x +

f ' ( x , y

)

d y

x 0 0

y 0

Отже, при непрямому вимірюванні величини f ( x, y ) маємо

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2019530.94 Кб71. Плани семінарських занять з історії України.doc
#
10.04.2015116.22 Кб1810 Бронювання.doc
#
15.03.20161.19 Mб181003.doc
#
16.07.2019889.34 Кб4102.doc
#
15.03.2016476.16 Кб1810_Dzyuba_Pechiy_UkrDAZT.doc
#
10.04.2015452.97 Кб101545.pdf
#
10.04.201515.39 Кб211_1_Sotsiologiya_sim (1).docx
#
10.04.20151.07 Mб422 Електронна версія конспекту лекцій.doc
#
10.04.2015238.7 Кб62 Технологічний процес виготовлення колектора.docx
#
10.04.2015842 Кб242009 170Л Маркетинг услуг Парасюк з.pdf
#
10.04.20155.79 Mб602012_11_Metod_vkaz_ch_1_Str_mat.doc