Вычисления с использованием описанных функций выполняются:
стандартным для Mathcad способом, т.е. с помощью клавиатуры;
имя функции можно вставить из списка: меню Вставка (Insert), строка Функция (Function), в открывшемся окне списка стрелками прокрутки выбрать нужную функцию и нажать
.
Кроме того, наСтандартной
панели инструментов есть кнопка
,
которая тоже открывает это окно.
В нижней
части окна можно найти краткое пояснение
выбранной функции, а также кнопка
,
которая вызывает справку по этой
функции. Весь текст написан простым
языком, поэтому не требуют глубоких
знаний английского языка.
При выполнении символьных операций через меню можно изменить режим отображения результатов вычислений – результат может быть отображён ниже или справа от матрицы, над которой выполнены операции. Режим отображения результатов символьных вычислений определяется в пункте Стиль вычисления меню Символика как Вертикальный (Verticaly) и Горизонтальный (Horizontally). Вид меню и окно диалога настройки режима отображения результатов приведён ниже.
Вычисления могут производиться в двух режимах – автоматическом и последовательном. В первом случае операция выполняется сразу после ввода команды и щелчка по рабочему документу вне выделяющей рамки, во втором – после команды Вычислить (Calculate).
Режим
вычислений устанавливается в меню
Математика
(Math).
По умолчанию включен режим автоматических
вычислений, строка меню помечена символом
.
Если автоматический режим отключён,
результат будет вычислен после щелчка
по строкеВычислить
(Calculate)
в меню Математика
(Math)
или по кнопке
наСтандартной
панели инструментов. 
Лабораторная работа №1
Работа с векторами и матрицами
Цель работы
Преобразование вектора и матрицы.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить основные операции с матрицами, транспонирование, вычисление обратной матрицы, ортогональные матрицы (см. Приложение А).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задания по номеру своего варианта.
Задание №1.1
«Основные матричные операции»
Пользуясь исходной матрицей, применить для неё все возможные функции. Варианты заданий в Таблице №1.1..
Порядок выполнения задания:
1. Исходная матрица:
2. Извлекаем из исходной матрицы матрицу размером 3 на 3. Нумерация элементов строк и столбцов начинается с 0. Новую матрицу обозначим через D. Она будет являться квадратной, т.к. число сток у неё равно числу столбцов:
где в скобках после ключевого слова указаны: исходная матрица, номер первой (0) и последней строки (2), номер первого (0) и последнего столбца (2). Или
где в скобках после ключевого слова указаны: исходная матрица, номер первой (2) и последней строки(4), номер первого(1) и последнего столбца (3).
3. Находим определитель квадратной матрицы D (для первого случая) и обозначим его через С:
4. Определяем след для извлечённой квадратной матрицы D (сумму элементов по диагонали) и обозначим его через В:
5. Определяем вектор собственных чисел квадратной матрицы D и обозначим его через N:
6. Определяем матрицу собственных векторов квадратной матрицы D и обозначим её через G. Данная функция возвращает матрицу, содержащую в себе среднеарифметические собственные вектора соответствующих собственным числам матрицы D:
7. Транспонирование квадратной матрицы D. Новая матрица К получается заменой строк столбцами:
8. Произведём обращение квадратной матрицы D. По определению квадратная матрица называется обратимой, если существует квадратная матрица Х, удовлетворяющая соотношениям АХ=ХА=Е, где Е – единичная матрица. Матрица Х называется обратной к матрице D и обозначается D-1:
- перемножим матрицу D и обратную к неё матрицу Х:
- получили единичную матрицу, что подтверждает обратимость квадратной матрицы D.
9. Сделаем возврат исходной матрицы М размером 4 на 5. Нумерация элементов строк и столбцов начинается с 0. Новую матрицу обозначим через H:
где в скобках после ключевого слова указаны: исходная матрица, номер первой (0) и последней строки (4), номер первого (0) и последнего столбца (3).
10. Извлечём из исходной матрицы М первую колонку и обозначим её через А. При этом используем функцию submatrix и соответствующую кнопку на панели Матрица панели инструментов Математика:
11. Из исходной матрицы M путём объединения со столбцом А получим новую матрицу J размером 5 на 5:
где функция augment возвращает массив, сформированный размещением элементов слева направо.
12. Извлечём из исходной матрицы М первую строку и обозначим её через Y:
13. Из исходной матрицы M путём объединения со строкой Y получим новую матрицу I размером 4 на 6:
где функция stack возвращает массив, сформированный размещением элементов сверху вниз.
14. Определим количество строк и столбцов новой матрицы I, а также максимальный и минимальный её элементы с помощью функций:
15. Произведём сортировку новой матрицы I по 1-му и 4-му столбцу, используя функцию:
строки матрицы расположились в порядке возрастания сверху вниз элементов 1-го столбца в первом примере, и в порядке возрастания сверху вниз элементов 4-го столбца во втором примере.
16. Произведём сортировку новой матрицы I по 1-ой и 6-ой строке, используя функцию:
столбцы матрицы расположились в порядке возрастания справа налево элементов 1-ой строки в первом примере, и в порядке возрастания справа налево элементов 5-ой строки во втором примере.
1. Запишем новую исходную матрицу ММ, элементы которой представляют собой комплексные числа, содержащие в себе реальные и мнимые части:
2. Выделим из исходной матрицы ММ реальную и мнимую части с помощью функций:
Задание №1.2
«Вычисление степени матрицы»
Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:
А0=Е, А1=А, А2=АА и т.д.
Матрица P называется идемпотентной, если P2=P.
Матрица I называется инволютивной, если I2=E.
Докажите, что матрица Р идемпотентна. Вычислите её определитель. Покажите, что матрица I=2P-E инволютивна. Вычислите её определитель и обратную матрицу. Варианты заданий в Таблице №1.2.
Порядок выполнения задания:
Установите режим автоматических вычислений.
Введите матрицу Р.
Вычислите Р2 и Р2-Р.
Вычислите detР и Р-1.
Введите единичную матрицу Е той же размерности, что и матрица Р.
Вычислите матрицу I=2P-E.
Вычислите матрицу I2.
Вычислите detI и I-1.
Таблица №1.1
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
a11 |
5 |
-8 |
19 |
0 |
-1 |
5 |
22 |
1 |
15 |
3 |
16 |
29 |
45 |
52 |
-8 |
|
a12 |
10 |
28 |
45 |
13 |
-8 |
60 |
30 |
34 |
19 |
24 |
4 |
7 |
9 |
4 |
6 |
|
a13 |
1 |
2 |
4 |
3 |
1 |
8 |
6 |
4 |
-1 |
-3 |
24 |
56 |
54 |
-5 |
22 |
|
a14 |
7 |
8 |
9 |
10 |
-20 |
-1 |
5 |
15 |
19 |
6 |
13 |
9 |
2 |
1 |
0 |
|
a15 |
- |
-11 |
15 |
4 |
- |
-9 |
20 |
26 |
-4 |
-3 |
12 |
12 |
- |
5 |
- |
|
а21 |
60 |
88 |
56 |
76 |
34 |
54 |
23 |
-10 |
30 |
20 |
16 |
29 |
45 |
52 |
-5 |
|
а22 |
23 |
23 |
-10 |
40 |
5 |
12 |
31 |
50 |
44 |
6 |
4 |
7 |
9 |
4 |
6 |
|
а23 |
4 |
-2 |
12 |
22 |
12 |
3 |
-6 |
16 |
0 |
5 |
24 |
56 |
54 |
-5 |
22 |
|
а24 |
34 |
12 |
-3 |
-9 |
46 |
0 |
23 |
44 |
11 |
12 |
13 |
9 |
2 |
1 |
0 |
|
а25 |
- |
6 |
12 |
13 |
- |
51 |
20 |
9 |
11 |
29 |
12 |
12 |
- |
5 |
- |
|
а31 |
16 |
29 |
45 |
52 |
-20 |
12 |
65 |
-10 |
12 |
-12 |
16 |
29 |
45 |
52 |
9 |
|
а32 |
5 |
-8 |
19 |
0 |
-1 |
5 |
22 |
1 |
15 |
3 |
4 |
7 |
9 |
4 |
6 |
|
а33 |
10 |
28 |
45 |
13 |
-8 |
60 |
30 |
34 |
19 |
24 |
24 |
56 |
54 |
-5 |
22 |
|
а34 |
1 |
2 |
4 |
3 |
7 |
8 |
6 |
4 |
-1 |
-5 |
13 |
9 |
2 |
1 |
0 |
|
а35 |
- |
8 |
9 |
10 |
- |
-1 |
5 |
15 |
19 |
6 |
12 |
12 |
- |
5 |
- |
|
а41 |
1 |
-11 |
15 |
4 |
34 |
-9 |
20 |
26 |
-4 |
-9 |
16 |
29 |
45 |
52 |
4 |
|
а42 |
60 |
88 |
56 |
76 |
34 |
54 |
23 |
-10 |
30 |
20 |
4 |
7 |
9 |
4 |
6 |
|
а43 |
23 |
23 |
-10 |
40 |
46 |
12 |
31 |
50 |
44 |
-9 |
24 |
56 |
54 |
-5 |
22 |
|
а44 |
4 |
-2 |
12 |
22 |
12 |
3 |
-6 |
16 |
0 |
5 |
13 |
9 |
2 |
1 |
0 |
|
а45 |
- |
12 |
-3 |
-9 |
- |
0 |
23 |
44 |
11 |
12 |
12 |
12 |
- |
5 |
- |
|
а51 |
5 |
6 |
12 |
13 |
33 |
51 |
20 |
9 |
11 |
- |
16 |
29 |
45 |
52 |
15 |
|
а52 |
16 |
29 |
45 |
52 |
31 |
12 |
65 |
-10 |
12 |
- |
4 |
7 |
9 |
4 |
6 |
|
а53 |
5 |
-8 |
19 |
0 |
-1 |
5 |
22 |
1 |
15 |
- |
24 |
56 |
54 |
-5 |
22 |
|
а54 |
10 |
28 |
45 |
13 |
-8 |
60 |
30 |
34 |
19 |
- |
13 |
9 |
2 |
1 |
0 |
|
а55 |
- |
2 |
4 |
3 |
- |
8 |
6 |
4 |
-1 |
- |
12 |
12 |
- |
5 |
- |
Таблица №1.1 (продолжение)
|
№ |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
a11 |
4 |
5 |
0 |
3 |
11 |
5 |
19 |
2 |
19 |
11 |
5 |
8 |
18 |
-6 |
38 |
|
a12 |
77 |
5 |
34 |
29 |
-6 |
30 |
33 |
58 |
34 |
55 |
10 |
22 |
29 |
38 |
28 |
|
a13 |
38 |
29 |
-11 |
51 |
23 |
80 |
91 |
65 |
66 |
31 |
-6 |
0 |
4 |
70 |
23 |
|
a14 |
12 |
22 |
23 |
33 |
34 |
44 |
45 |
55 |
12 |
3 |
-10 |
19 |
24 |
53 |
40 |
|
a15 |
6 |
7 |
-9 |
4 |
- |
4 |
75 |
8 |
4 |
6 |
24 |
-9 |
6 |
0 |
6 |
|
а21 |
45 |
50 |
15 |
3 |
13 |
12 |
40 |
44 |
12 |
12 |
7 |
6 |
5 |
7 |
25 |
|
а22 |
5 |
7 |
8 |
7 |
4 |
-4 |
5 |
0 |
1 |
1 |
5 |
6 |
3 |
-9 |
9 |
|
а23 |
40 |
10 |
40 |
9 |
9 |
56 |
45 |
10 |
27 |
6 |
-19 |
0 |
46 |
23 |
20 |
|
а24 |
1 |
2 |
3 |
0 |
5 |
7 |
8 |
4 |
8 |
2 |
5 |
3 |
3 |
4 |
1 |
|
а25 |
5 |
19 |
0 |
10 |
- |
70 |
13 |
40 |
33 |
13 |
23 |
22 |
9 |
5 |
1 |
|
а31 |
54 |
55 |
78 |
10 |
45 |
96 |
46 |
75 |
25 |
75 |
33 |
75 |
44 |
83 |
13 |
|
а32 |
0 |
-3 |
1 |
5 |
5 |
8 |
-6 |
0 |
1 |
4 |
5 |
7 |
1 |
1 |
2 |
|
а33 |
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
8 |
7 |
1 |
|
а34 |
2 |
-2 |
0 |
9 |
1 |
6 |
5 |
4 |
3 |
4 |
0 |
11 |
3 |
9 |
10 |
|
а35 |
5 |
56 |
76 |
77 |
- |
-11 |
55 |
48 |
75 |
76 |
34 |
33 |
3- |
5- |
11 |
|
а41 |
4 |
5 |
0 |
3 |
10 |
5 |
19 |
2 |
19 |
6 |
5 |
8 |
18 |
-6 |
9 |
|
а42 |
77 |
5 |
34 |
29 |
-6 |
30 |
33 |
58 |
34 |
55 |
10 |
22 |
29 |
38 |
28 |
|
а43 |
38 |
29 |
-11 |
51 |
23 |
80 |
91 |
65 |
66 |
31 |
-6 |
0 |
4 |
70 |
23 |
|
а44 |
12 |
22 |
23 |
33 |
34 |
44 |
45 |
55 |
12 |
3 |
-10 |
19 |
24 |
53 |
40 |
|
а45 |
6 |
7 |
-9 |
4 |
- |
4 |
75 |
8 |
4 |
6 |
24 |
-9 |
6 |
0 |
6 |
|
а51 |
45 |
50 |
15 |
3 |
13 |
12 |
40 |
44 |
12 |
- |
7 |
6 |
5 |
7 |
- |
|
а52 |
5 |
7 |
8 |
7 |
4 |
-4 |
5 |
0 |
1 |
- |
5 |
6 |
3 |
-9 |
- |
|
а53 |
40 |
10 |
40 |
9 |
5 |
56 |
45 |
10 |
27 |
- |
-19 |
0 |
46 |
23 |
- |
|
а54 |
1 |
2 |
3 |
0 |
5 |
7 |
8 |
4 |
8 |
- |
5 |
3 |
3 |
4 |
- |
|
а55 |
5 |
19 |
0 |
10 |
- |
70 |
13 |
40 |
33 |
- |
23 |
22 |
9 |
5 |
- |
Таблица №1.2
|
1 |
|
11 |
|
21 |
|
|
2 |
|
12 |
|
22 |
|
|
3 |
|
13 |
|
23 |
|
|
4 |
|
14 |
|
24 |
|
|
5 |
|
15 |
|
25 |
|
|
6 |
|
16 |
|
26 |
|
|
7 |
|
17 |
|
27 |
|
|
8 |
|
18 |
|
28 |
|
|
9 |
|
19 |
|
29 |
|
|
10 |
|
20 |
|
30 |
|
Контрольные вопросы:
Перечислите известные вам операции с матрицами.
Какая матрица называется скалярной. Приведите пример.
Какая матрица называется транспонированной. Приведите пример вычисления обратной матрицы.
Что такое определитель матрицы. Приведите пример.
Приведите пример операции возведения матрицы в целую неотрицательную степень. Какая матрица называется идемпотентной и инволютивной.
Лабораторная работа №2
Определители и их свойства
Цель работы
Решение задач линейной алгебры с использованием определителя матрицы.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить свойства определителей матрицы и решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. (см. Приложение В).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задание по номеру своего варианта.
Задание №2.1
«Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера»
Исследовать систему алгебраических уравнений:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
………………………………
an1x1+an2x2+…+annxn=bn
и, если
решение существует, найдите по формулам
Крамера её решение. В соответствии с
правилом умножения матриц, рассмотренная
система линейных уравнений может быть
записана в матричном виде
,
где
,
,
.
Варианты заданий в Таблице №2.1.
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
x1+2x2+3x3+4x4=30
-x1+2x2-3x3+4x4=10
x2 - x3 + x4=3
x1 + x2 + x3+ x4=10
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице:
Введите матрицу системы и столбец правых частей:
Вычислите определитель матрицы системы. Система имеет единственное решение, если определитель отличен от нуля:
Таблица №2.1
|
№ |
A |
|
№ |
A |
|
|
1 |
0.005 0.004 0.150 0 -0.09 -0.033 0.0067 -0.098 0.150 0.033 0.050 0 2.857 0.100 -0.300 0.025 |
0.057 -0.098 0.183 -0.041 |
16 |
0.055 0.044 0.065 0.500 0.010 0.300 0.073 0.275 1.150 0.367 0.092 0.240 0.031 0.600 0.033 0.75 |
4.605 2.785 15.662 4.524 |
|
2 |
-0.080 0 0.013 0.050 0.250 0.067 0.067 0.069 0.0057 0.150 -0.267 0.050 |
0.186 -0.126 0.646 0.086 |
17 |
0.060 0.048 0.700 0.550 0.020 0.333 0.080 0.300 1.250 0.400 0.092 0.248 0.034 0.650 0.067 0.300 |
5.458 3.460 18.515 5.478 |
|
3 |
-0.070 0.033 0.020 0.075 0.350 0.100 0.075 0.110 0.0086 0.200 -0.233 0.075 |
0.388 -0.084 1.357 0.149 |
18 |
0.065 0.052 0.750 0.600 0.030 0.367 0.087 0.325 1.350 0.433 0.093 0.256 0.037 0.700 0.100 0.325 |
6.383 4.205 21.603 6.522 |
|
4 |
0.020 0.016 0.300 0.150 -0.060 0.067 0.027 0.100 0.450 0.133 0.080 0.139 0.011 0.250 -0.200 0.100 |
0.662 0.029 2.312 0.379 |
19 |
0.070 0.056 0.800 0.650 0.040 0.400 0.093 0.350 1.450 0.467 0.093 0.264 0.040 0.750 0.133 0.350 |
7.380 5.021 24.926 7.657 |
|
5 |
0.025 0.020 0.350 0.200 -0.050 0.100 0.033 0.125 0.550 0.167 0.083 0.161 0.014 0.300 -0.167 0.125 |
1.008 0.212 3.507 0.700 |
20 |
0.075 0.060 0.850 0.700 0.050 0.433 0.100 0.375 1.550 0.500 0.094 0.248 0.043 0.800 0.167 0.375 |
8.450 5.906 28.484 8.882 |
|
6 |
0.030 0.024 0.400 0.250 -0.040 0.133 0.040 0.150 0.650 0.200 0.086 0.179 0.017 0.350 -0.133 0.150 |
1.427 0.465 4.940 1.111 |
21 |
0.080 0.064 0.900 0.750 0.060 0.467 0.107 0.400 1.650 0.533 0.094 0.277 0.046 0.850 0.200 0.400 |
9.592 6.862 32.278 10.198 |
|
7 |
0.035 0.028 0.450 0.300 -0.030 0.167 0.047 0.175 0.750 0.233 0.088 0.195 0.020 0.400 -0.100 0.175 |
1.918 0.788 6.611 1.613 |
22 |
0.085 0.068 0.950 0.800 0.070 0.500 0.113 0.425 1.750 0.567 0.094 0.283 0.049 0.900 0.233 0.425 |
10.806 7.888 36.306 11.604 |
|
8 |
0.040 0.032 0.500 0.350 -0.020 0.200 0.053 0.200 0.850 0.267 0.089 0.208 0.023 0.450 -0.067 0.200 |
2.481 1.182 8.520 2.205 |
23 |
0.090 0.072 1.000 0.850 0.080 0.533 0.120 0.450 1.805 0.600 0.095 0.289 0.051 0.950 0.267 0.450 |
12.093 8.985 40.569 13.101 |
|
9 |
0.045 0.036 0.550 0.400 -0.010 0.233 0.060 0.225 0.950 0.300 0.090 0.220 0.026 0.500 -0.033 0.225 |
3.117 1.646 10.664 2.888 |
24 |
0.095 0.076 1.050 0.900 0.090 0.567 0.127 0.475 1.950 0.633 0.095 0.294 0.054 1.000 0.300 0.475 |
13.452 10.152 45.067 14.688 |
|
10 |
0.050 0.040 0.600 0.450 0 0.267 0.067 0.250 1.050 0.333 0.091 0.230 0.029 0.550 0 0.250 |
3.825 2.181 13.045 3.661 |
25 |
0.100 0.080 1.100 0.950 0.100 0.600 0.133 0.500 2.050 0.667 0.095 0.300 0.057 1.050 0.333 0.500 |
14.883 11.389 49.799 16.365 |
|
11 |
0.0350.0390.400 0.250 -0.040 0.133 0.040 0.150 0.6550.200 0.0550.179 0.0780.350 -0.133 0.150 |
1.307 0.775 4.940 1.111 |
26 |
0.567 0.044 0.065 0.500 0.010 0.332 0.073 0.275 1.150 0.367 0.092 0.233 0.031 0.632 0.033 0.75 |
4.605 2.785 5.662 4.524 |
|
12 |
0.0360.028 0.450 0.300 -0.030 0.167 0.0360.175 0.750 0.233 0.088 0.195 0.020 0.444-0.100 0.128 |
1.918 0.811 6.611 1.446 |
27 |
0.066 0.048 0.700 0.550 0.020 0.312 0.089 0.300 1.250 0.400 0.092 0.248 0.034 0.650 0.067 0.355 |
5.458 3.460 8.515 5.478 |
|
13 |
0.1550.004 0.150 0 -0.09 -0.033 0.0067 -0.098 0.150 0.033 0.0560 2.855 0.199 -0.300 0.554 |
0.057 -0.098 0.183 -0.041 |
28 |
0.965 0.052 0.750 0.600 0.030 0.867 0.087 0.325 1.350 0.433 0.093 0.256 0.037 0.700 0.1150.325 |
6.383 4.285 2.603 6.522 |
|
14 |
-0.081 0 0.013 0.050 0.250 0.067 0.123 0.069 0.057 0.231 -0.267 0.050 |
0.186 -0.126 0.646 0.086 |
29 |
0.170 0.056 0.800 0.650 0.140 0.400 0.093 0.350 1.450 0.467 0.093 0.264 0.040 0.750 0.1390.350 |
7.380 5.021 4.926 7.657 |
|
15 |
0.3450.0100.300 0.150 -0.060 0.067 0.027 0.100 0.450 0.1350.045 0.139 0.012 0.250 -0.200 0.101 |
0.652 0.0819 2.312 0.379 |
30 |
0.775 0.060 0.850 0.700 0.050 0.433 0.1880.375 1.550 0.5770.094 0.248 0.043 0.800 0.167 0.375 |
8.450 5.906 8.484 1.882 |
Контрольные вопросы:
Как выглядит матрица системы по Крамеру.
Как записывается вектор-столбец по формуле Крамера.
Как по формулам Крамера вычисляется решение системы.
Лабораторная работа №3
Системы линейных алгебраических уравнений
Цель работы
Решение систем линейных алгебраических уравнений средствами Mathcad.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить методы решения систем линейных алгебраических уравнений: матричная метод, метод гауссовых исключений, метод простых итераций (см. Приложение С).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задания по номеру своего варианта.
Задание №3.1
«Решение матричных уравнений»
Решите как матричное уравнение систему линейных алгебраических уравнений.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
………………………………
an1x1+an2x2+…+annxn=bn
В
соответствии с правилом умножения
матриц, рассмотренная система линейных
уравнений может быть записана в матричном
виде
,
где
,
,
.
Варианты заданий в Таблице №3.1.
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 – 3x2 + 2x3 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
Установите режим автоматических вычислений
Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей:
Вычислите решение системы по формуле
:
Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:
Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений:
Задание №3.2
«Решение линейной системы методом Гаусса»
Найдите
методом Гаусса решение системы линейных
алгебраических уравнений
.
Варианты заданий вТаблице
№3.1.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
………………………….
an1x1+an2x2+…+annxn=bn
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 – 3x2 + 2x3 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице:
Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей:
Сформируйте расширенную матрицу системы:
Приведите расширенную матрицу системы:
Сформируйте столбец решения системы:
Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:
Задание №3.3
«Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций»
Найдите
методом простых итераций приближённое
решение линейной системы
.
Варианты заданий вТаблице
№3.1.
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
………………………….
an1x1+an2x2+…+annxn=bn
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
100x1 + 6x2 - 2x3=200
6x1+20x2 - 10x3=600
x1 + 2x2 - 100x3=500
Установите режим автоматических вычислений.
Преобразуйте исходную систему
к виду
:
x1=2-0.06x2+0.02x3
x2=3-0.03x1+0.05x3
x3=5-0.01x1-0.02x2
Введите матрицы А и
:
4. Проверьте достаточное условие сходимости:
5. Определите нулевое (начальное) приближение решения:
6. Задайте количество итераций:
7. Введите формулу вычисления последовательных приближений, вычислите их и выведите на экран:
8. Вычислите погрешность найденного приближения:
Таблица №3.1
|
№ |
А |
|
№ |
А |
|
|
1 |
-9 9 300 |
-1232 326 4335 |
16 |
1100 -4 3 5.5 2200 4.5 1 -1 3300 |
-4432 24200 13190 |
|
2 |
200 -13 12 1 400 9 -8 8 600 |
-2470 904 7920 |
17 |
1200 -3 2 6 2400 4 2 -2 3600 |
-3630 2879 1077 |
|
3 |
-7 7 900 |
-3504 1884 1091 |
18 |
1300 -2 1 6.5 2600 3.5 3 -3 3900 |
-2624 3379 7755 |
|
4 |
400 -11 10 2 800 8 -6 6 1200 |
-4334 3226 13290 |
19 |
1400 -1 0 7 2800 3 4 -4 4200 |
-1414 39200 4140 |
|
5 |
-5 5 1500 |
-4960 5050 15080 |
20 |
1500 0 -1 7.5 3000 2.5 5 -5 4500 |
0 45000 -75 |
|
6 |
3 1200 7 -4 4 1800 |
-5382 72360 16260 |
21 |
1600 1 -2 8 3200 2 6 -6 4800 |
1618 5121 -4890 |
|
7 |
-3 3 2100 |
-5600 9824 16850 |
22 |
1700 2 -3 8.5 4300 1.5 7 -7 5100 |
3440 57800 -10310 |
|
8 |
3 1600 6 -2 2 2400 |
-5614 12810 16830 |
23 |
1800 3 -4 9 3600 1 8 -8 5400 |
5466 6482 -16320 |
|
9 |
900 -6 5 4.5 1800 5.5 -1 1 2700 |
-5424 16210 16220 |
24 |
1900 4 -5 9.5 3800 0.5 9 -9 5700 |
76960 72240 -22940 |
|
10 |
1000 -5 4 5 2000 5 0 0 3000 |
-5030 20000 15000 |
25 |
2100 6 -7 10.5 4200 -0.5 11 -11 6300 |
12770 88270 -37970 |
|
11 |
100 -14 13
-9 9 300 |
-1232 326 4335 |
26 |
1100 -4 3 5.5 2200 4.5 1 -1 3300 |
-4432 24200 13190 |
|
12 |
200 -12 14 1 400 9 -9 9 600 |
-2470 904 7920 |
27 |
1200 -3 2 6 2400 4 2 -2 3600 |
-3630 2879 1077 |
|
13 |
300 -18 15
-7 7 900 |
-3504 1884 1091 |
28 |
1300 -2 1 6.5 2600 3.5 3 -3 3900 |
-2624 3379 7755 |
|
14 |
400 -11 10 2 800 8 -6 6 1200 |
-4334 3226 13290 |
29 |
1400 -1 0 7 2800 3 4 -4 4200 |
-1414 39200 4140 |
|
15 |
-5 5 1500 |
-4960 5050 15080 |
30 |
1500 0 -1 7.5 3000 2.5 5 -5 4500 |
0 45000 -75 |
Контрольные вопросы:
Опишите матричную форму записи линейных алгебраических уравнений.
В чём разница между точными и приближёнными методами решения алгебраических уравнений.
Опишите метод Гаусса на примере.
Опишите метод простых итераций на примере.
Лабораторная работа №4
Общая теория линейных систем
Цель работы
Исследование систем линейных алгебраических уравнений средствами Mathcad.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить теорию решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений (см. Приложение D).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задания по номеру своего варианта.
Задание №4.1
«Однородные системы линейных алгебраических уравнений»
Исследуйте однородную систему линейных алгебраических уравнений
a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=0,
………………………………
an1x1+an2x2+…+annxn=0
В
соответствии с правилом умножения
матриц, рассмотренная система линейных
уравнений может быть записана в матричном
виде
А
=0,
где
,
.
Варианты заданий в Таблице №4.1 (только А).
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
x1 + 4x2+2x3 - 3x5=0
2x1 + 9x2+5x3+2x4 + x5=0
x1+ 3x2 + x3- 2x4 -9x5=0
3x1+12x2+6x3 - 8x5=0
2x1+10x2+6x3+4x4+7x5=0
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Введите матрицу системы:
3. Вычислите ранг матрицы системы:
4. Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:
5.Определите базисные и свободные переменные и запишите полученную эквивалентную систему:
6. Используя символьные вычисления, решите полученную систему относительно базовых переменных:
7. Запишите общее решение системы:
8. Найдите фундаментальную систему решений:
Задание №4.2
«Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений»
Исследуйте
однородную систему линейных алгебраических
уравнений А
=
для двух различных правых частей
.
Варианты
заданий в Таблице
№4.1 (A,
1
и
2).
Порядок выполнения задания:
Исходная система:
x1 +x2 =b1
x1 +x2 + x3 =b2
x2 + x3 + x4+x5=b3
2x1-3x2+2x3+ x4+x5=b4
3x1+3x2+2x3+x4+x5=b5
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Введите матрицу системы и расширенные матрицы системы для обеих правых частей:
3. Вычислите ранги основной матрицы и ранги расширенных матриц обеих систем:
4. rg(A)=3,
rg(Ar1)=4,
rg(A)
отличен от rg(Ar1),
система A
=
1
несовместна; rg(A)=rg(Ar2)=3,
система A
=b2
совместна.
5. Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:
6. Свободные переменные х4, х5, базисные переменные х1, х2, х3.
7. Запишите эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:
8. Запишите общее решение системы:
9. Найдите два различных частных решения системы:
Таблица №4.1
|
№ |
А |
|
|
№ |
A |
|
|
|
1 |
-14 -9 -4 1 6 -1 -2 6 -4 -14 -14 -9 2 3 -2 -15 -11 2 -3 -8 -29 -20 4 0 -10 |
-3.45 -15.2 -10.45 -18.65 -29.1 |
-2.45 -15.1 -9.45 -18.98 -29.6 |
16 |
-4 1 6 11 16 9 8 16 6 -4 -4 1 12 13 8 5 9 22 17 12 1 10 34 30 20 |
187.55 58.3 110.55 245.85 356.4 |
88.55 59.4 11.55 42.18 35.9 |
|
2 |
13 -8 -3 2 7 0 -1 7 -3 -13 -13 -8 3 4 -1 -13 -9 4 -1 -6 -26 -17 7 3 -7 |
-2.8 -26.3 -16.8 -29.1 -45.9 |
-1.8 -26.1 -15.8 -29.77 -46.9 |
17 |
-3 2 7 12 17 10 9 17 7 -3 -3 2 13 14 9 7 11 24 19 14 4 13 37 33 23 |
22.2 88.2 145.2 317.4 462.6 |
230.2 89.4 146.2 313.4 456.6 |
|
3 |
-12 -7 -2 3 8 1 0 8 -2 -12 -12 -7 4 5 0 -11 -7 6 1 -4 -23 -7 10 6 -4 |
1.95 -33.3 -19.05 -31.35 -50.4 |
2.95 -33 -18.05 -32.35 -51.9 |
18 |
-2 3 8 13 18 11 10 18 8 -2 -2 3 14 15 10 9 13 26 21 16 7 16 40 36 26 |
274.9 122.2 183.9 397.1 581.1 |
275.9 123.5 184.9 382.8 574.6 |
|
4 |
-11 -6 -1 4 9 2 1 9 -1 -11 -11 -6 5 6 1 -9 -5 8 3 2 -20 -11 13 9 -1 |
10.8 -36.2 -17.2 -25.4 -42.6 |
11.8 -35.8 -16.2 -26.73 -44.6 |
19 |
-1 4 9 14 19 12 11 19 9 -1 -1 4 15 16 11 11 15 28 23 18 10 19 43 39 29 |
324.8 150.3 226.8 485.1 711.9 |
325.8 161.7 227.8 480.4 704.9 |
|
5 |
-10 -5 0 5 10 3 2 10 0 -10 -10 -5 6 7 2 -7 -3 10 5 0 -17 -8 16 12 2 |
23.75 35 -11.25 -11.25 -22.5 |
24.75 34.5 -10.25 -12.92 -25 |
20 |
0 5 10 15 20 13 12 20 10 0 0 5 16 17 12 13 17 30 25 20 13 22 46 42 32 |
78.9 22.5 73.7 81.2 855 |
79.6 24 74.7 76.2 847.5 |
|
6 |
-9 -4 1 6 11 4 3 11 8 3 -9 -1 12 7 2 -5 -1 12 7 2 -14 -5 19 15 5 |
40.8 -29.7 -1.2 11.1 9.9 |
41.8 29.1 -0.2 9.1 6.9 |
21 |
1 6 11 16 21 14 13 21 11 1 1 6 17 18 13 15 19 32 27 22 16 25 49 45 35 |
36.8 48.8 24.8 85.6 110 |
37.8 50.4 25.8 80.2 102 |
|
7 |
-8 -3 2 7 12 5 4 12 2 -8 -8 -3 8 9 4 -3 1 14 9 4 -11 -2 22 18 8 |
61.95 -20.3 12.95 41.65 54.6 |
62.5 -19.6 13.95 39.32 51.1 |
22 |
2 7 12 17 22 15 14 22 12 2 2 7 18 19 14 17 21 34 29 24 19 28 52 48 38 |
98.9 99.2 79.9 98.1 178 |
99.9 30.9 30.9 92.4 170 |
|
8 |
-7 -2 3 8 13 6 5 13 3 -7 -7 -2 9 10 5 -1 3 16 11 6 -8 1 25 21 11 |
87.2 -6.8 31.2 80.4 111.6 |
88.2 -6 32.2 77.73 107.6 |
23 |
3 8 13 18 23 16 15 23 13 3 3 8 19 20 15 19 23 36 31 26 22 31 55 51 41 |
565.2 353.7 439.2 918.9 1258 |
566.2 355.5 440.2 912.9 1349 |
|
9 |
-6 -1 4 9 14 7 6 14 4 -6 -6 -1 10 11 6 1 5 18 13 8 -5 4 28 24 14 |
116.55 109.8 53.55 127.35 180.9 |
117.55 11.7 54.55 124.35 176.4 |
24 |
4 9 14 19 24 17 16 24 14 4 4 9 20 21 16 21 25 38 33 28 25 34 58 54 44 |
35.5 12.3 52.5 048 550 |
36.5 14.2 53.5 142 541 |
|
10 |
-5 0 5 10 15 8 7 15 5 -5 -5 0 11 12 7 3 7 20 15 10 -2 7 31 27 17 |
150 32.5 80 182.5 262.5 |
151 33.5 81 79.67 257.5 |
25 |
5 10 15 20 25 18 17 25 15 5 5 10 21 22 17 23 27 40 35 30 28 37 61 57 47 |
711 475 570 185 755 |
711 477 571 178 755 |
|
11 |
-12 -8 -4 1 6 -1 -2 7 -4 -14 -14 -9 2 3 -2 -15 -11 2 -3 -8 -29 -20 4 0 -10 |
-3.45 -13.2 -10.45 -18.65 -29.1 |
-3.45 -15.1 -9.45 -18.98 -29.6 |
26 |
-4 1 6 11 16 9 8 16 6 -4 -4 1 12 13 8 5 9 22 17 12 1 10 34 30 20 |
87.55 58.3 10.55 45.85 56.4 |
88.55 59.4 11.55 42.18 35.9 |
|
12 |
13 -7 -3 2 7 0 -1 7 -3 -13 -13 -8 3 4 -1 -13 -9 4 -1 -6 -26 -17 7 3 -7 |
-2.8 -2.3 -16.8 -9.1 -5.9 |
-1.8 -26.1 -15.8 -29.77 -46.9 |
27 |
-3 2 7 12 17 10 9 17 7 -3 -3 2 13 14 9 7 11 24 19 14 4 13 37 33 23 |
22.2 88.2 45.2 17.4 2.6 |
30.2 89.4 46.2 13.4 56.6 |
|
13 |
-12 -7 -2 3 8 1 5 8 -2 -12 -12 -7 4 5 0 -11 -7 6 1 -4 -23 -7 10 6 -4 |
1.95 -33.3 -19.05 -31.35 -50.4 |
2.95 -33 -18.05 -32.35 -51.9 |
28 |
-2 3 8 13 18 11 10 18 8 -2 -2 3 14 15 10 9 13 26 21 16 7 16 40 36 26 |
74.9 22.2 83.9 97.1 81.1 |
75.9 23.5 84.9 82.8 74.6 |
|
14 |
-11 -6 -1 4 9 2 1 9 -1 -11 -11 -6 5 6 1 -9 -5 8 3 2 -20 -11 13 9 -1 |
10.8 -36.2 -17.2 -25.4 -42.6 |
11.8 -35.8 -16.2 -26.73 -44.6 |
29 |
-1 4 9 14 19 12 11 19 9 -1 -1 4 15 16 11 11 15 28 23 18 10 19 43 39 29 |
24.8 50.3 26.8 85.1 11.9 |
25.8 61.7 27.8 80.4 04.9 |
|
15 |
-10 -5 0 5 10 3 2 10 0 -10 -10 -5 6 7 2 -7 -3 10 5 0 -17 -8 16 12 2 |
23.75 35 -11.25 -11.25 -22.5 |
24.75 34.5 -10.25 -12.92 -25 |
30 |
0 5 10 15 20 13 12 20 10 0 0 5 16 17 12 13 17 30 25 20 13 22 46 42 32 |
78.9 02.5 73.7 81.2 855 |
79.6 204 74.7 76.2 47.5 |
1
2
1
2Контрольные вопросы:
Какая система линейных уравнений называется однородной. Приведите пример.
Что значит исследовать однородную систему.
Чем отличается неоднородная система линейных алгебраических уравнений от однородной системы. Приведите пример.
Что значит исследовать неоднородную систему.
Лабораторная работа №5
Линейное пространство. Основные понятия
Цель работы
Исследование системы векторов в линейном пространстве средствами Mathcad.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить теорию линейного пространства, понятия базиса, размерности линейного пространства, понятие координаты вектора в заданном базисе, понятие ранга матрицы (см. Приложение Е).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задания по номеру своего варианта.
Задание №5.1
«Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном пространстве»
Докажите,
что векторы
образуют
базис в пространстве L4
и
найдите координаты вектора
=(1,
1, 1, 1)Т
в этом базисе. Варианты заданий в Таблице
№5.1 (только
).
Порядок выполнения задания:
Исходные вектора:
Вектор
=
(1,
-1, 3, -2)Т.
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Введите
матрицу С
со столбцами
:
3. Покажите, что определитель матрицы С отличен от нуля:
4. Вычислите матрицу, обратную к матрице С:
5. Запишите
выражение и вычислите координаты вектора
в базисе
:
6. Проверьте вычисления, выполнив обратный переход:
Проверка
подтверждает правильность вычислений,
поскольку если
– координаты вектора
в базисе
,
то произведение
- координаты вектора
в
исходном базисе.
Задание №5.2
«Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы»
Исследуйте
на линейную зависимость векторов
и
.
Выделите в линейно зависимой системе
линейно независимую подсистему. Найдите
линейные выражения всех векторов линейно
зависимой системы через векторы линейно
независимой подсистемы. Варианты заданий
вТаблице
№5.1 (
и
).
Порядок выполнения задания:
1. Установите режим автоматических вычислений
2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице:
3. Введите
матрицы С
и D,
столбцами которых являются векторы
и
соответственно:
4. Найдите ранги матриц С и D:
5. Сформулируйте вывод о линейной зависимости исследуемых систем векторов: в данном случае Векторы-столбцы матрицы С линейно зависимы, а векторы-столбцы матрицы D линейно независимы.
6. Приведите матрицу линейно зависимой системы к ступенчатому виду и выделите линейно независимую подсистему:
7. Запишите выражения для всех векторов линейно зависимой системы через линейно независимую подсистему и проверьте их:
Выражение
векторов линейно зависимой системы
через векторы линейно независимой
подсистемы
.
Таблица №5.1
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.25 0.333 0.2 0.1 |
0.33 0.25 0.167 0.143 |
1.25 -0.667 2.2 3.1 |
-0.667 1.333 1.25 -0.75 |
0.945 -0.276 -0.11 -0.138 |
-0.276 -0.379 -0.552 -0.69 |
-0.138 -0.69 -0.276 0.655 |
-0.11 -0.552 0.779 -0.276 |
|
2 |
0.5 0.667 0.4 0.2 |
0.667 0.5 0.333 0.286 |
1.5 -0.333 2.4 3.2 |
-0.33 1.667 1.5 -0.5 |
-0.276 -0.11 -0.138 0.945 |
-0.552 0.779 -0.276 -0.11 |
-0.69 -0.276 0.655 -0.138 |
-0.379 -0.552 -0.69 -0.276 |
|
3 |
0.75 1 0.6 0.3 |
1 0.75 0.5 0.429 |
1.75 0 2.6 3.3 |
0 2 1.75 -0.25 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.38 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
|
4 |
1 1.333 0.8 0.4 |
1.333 1 0.667 0.571 |
2 0.333 2.8 3.4 |
0.333 2.333 2 0.2 |
-0.276 -0.945 -0.11 -0.138 |
-0.552 -0.11 0.779 -0.276 |
-0.69 -0.138 -0.276 0.655 |
-0.379 -0.276 -0.552 -0.69 |
|
5 |
1.25 1.667 1 0.5 |
1.667 1.25 0.833 0.714 |
2.25 0.667 3 3.5 |
0.667 2.667 2.25 0.25 |
-0.138 0.945 -0.11 -0.276 |
-0.276 -0.11 0.779 -0.552 |
0.655 -0.138 -0.276 -0.69 |
-0.69 -0.276 -0.552 -0.379 |
|
6 |
1.5 2 1.2 0.6 |
2 1.5 1 0.887 |
2.5 1 3.2 3.6 |
1 3 2.5 0.5 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
|
7 |
1.75 2.333 1.4 0.7 |
2.333 1.75 1.167 1 |
2.75 1.333 3.4 3.7 |
1.333 3.333 2.75 0.75 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
|
8 |
2 2.667 1.6 0.8 |
2.667 2 1.333 1.143 |
3 1.667 3.6 3.8 |
1.667 3.667 3 1 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
9 |
2.25 3 1.8 0.9 |
3 2.25 1.5 1.286 |
3.25 2 3.8 3.9 |
2 4 3.25 1.25 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
10 |
2.5 3.333 2 1 |
3.333 2.5 1.667 1.429 |
3.5 2.333 4 4 |
2.333 4.333 3.5 1.5 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
|
11 |
2.75 3.667 2.2 1.1 |
3.667 2.75 1.833 1.571 |
3.75 2.667 4.2 4.1 |
2.667 4.667 3.75 1.75 |
-0.138 0.945 -0.11 -0.276 |
-0.276 -0.11 0.779 -0.552 |
0.655 -0.138 -0.276 -0.69 |
-0.69 -0.276 -0.552 -0.379 |
|
12 |
3 4 2.4 1.2 |
4 3 2 1.714 |
4 3 4.4 4.2 |
3 5 4 2 |
-0.11 -0.138 0.945 -0.276 |
0.779 -0.276 -0.11 -0.552 |
-0.276 0.655 -0.138 -0.69 |
-0.552 -0.69 -0.276 -0.379 |
|
13 |
3.25 4.333 2.6 1.3 |
4.333 3.25 2.167 1.857 |
4.25 3.333 4.6 4.3 |
3.333 5.333 4.25 2.25 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
|
14 |
3.5 4.667 2.8 1.4 |
4.667 3.5 2.333 2 |
4.5 3.667 4.8 4.4 |
3.667 5.667 4.5 2.5 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
|
15 |
3.75 5 3 1.5 |
5 3.75 2.5 2.143 |
4.75 4 5 4.5 |
4 6 4.75 2.75 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
16 |
4 5.333 3.2 1.6 |
5.333 4 2.667 2.286 |
5 4.333 5.2 4.6 |
4.333 6.333 5 3 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
17 |
4.25 5.667 3.4 1.7 |
5.667 4.25 2.833 2.429 |
5.25 4.667 5.4 4.7 |
4.667 6.667 5.25 3.25 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
|
18 |
4.5 6 3.6 1.8 |
6 4.5 3 2.571 |
5.5 5 5.6 4.8 |
5 7 5.5 3.5 |
-0.276 0.945 -0.11 -0.138 |
-0.552 -0.11 0.779 -0.276 |
-0.69 -0.138 -0.276 0.655 |
-0.379 -0.276 -0.552 -0.69 |
|
19 |
4.75 6.333 3.8 1.9 |
6.333 4.75 3.167 2.714 |
5.75 5.333 5.8 4.9 |
5.333 7.333 5.75 3.75 |
-0.138 0.945 -0.11 -0.276 |
-0.276 -0.11 0.779 -0.552 |
0.655 -0.138 -0.276 -0.69 |
-0.69 -0.276 -0.552 -0.379 |
|
20 |
5 6.667 4 2 |
6.667 5 3.333 2.857 |
6 5.667 6 5 |
5.667 7.667 6 4 |
-0.11 0.945 -0.276 -0.138 |
0.779 -0.11 -0.552 -0.276 |
-0.276 -0.138 -0.69 0.655 |
-0.552 -0.276 -0.379 -0.69 |
|
21 |
0.25 0.333 0.2 0.1 |
0.33 0.25 0.167 0.143 |
1.25 -0.667 2.2 3.1 |
-0.667 1.333 1.25 -0.75 |
0.945 -0.276 -0.11 -0.138 |
-0.276 -0.379 -0.552 -0.69 |
-0.138 -0.69 -0.276 0.655 |
-0.11 -0.552 0.779 -0.276 |
|
22 |
0.5 0.667 0.4 0.2 |
0.667 0.5 0.333 0.286 |
1.5 -0.333 2.4 3.2 |
-0.33 1.667 1.5 -0.5 |
-0.276 -0.11 -0.138 0.945 |
-0.552 0.779 -0.276 -0.11 |
-0.69 -0.276 0.655 -0.138 |
-0.379 -0.552 -0.69 -0.276 |
|
23 |
0.75 1 240.6 0.3 |
1 0.75 0.5 0.429 |
1.75 0 2.6 3.3 |
0 2 1.75 -0.25 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.38 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
|
24 |
1 1.333 0.8 0.4 |
1.333 1 0.667 0.571 |
2 0.333 2.8 3.4 |
0.333 2.333 2 0.2 |
-0.276 -0.945 -0.11 -0.138 |
-0.552 -0.11 0.779 -0.276 |
-0.69 -0.138 -0.276 0.655 |
-0.379 -0.276 -0.552 -0.69 |
|
25 |
1.25 1.667 1 0.5 |
1.667 1.25 0.833 0.714 |
2.25 0.667 3 3.5 |
0.667 2.667 2.25 0.25 |
-0.138 0.945 -0.11 -0.276 |
-0.276 -0.11 0.779 -0.552 |
0.655 -0.138 -0.276 -0.69 |
-0.69 -0.276 -0.552 -0.379 |
|
26 |
1.5 2 1.2 0.6 |
2 1.5 1 0.887 |
2.5 1 3.2 3.6 |
1 3 2.5 0.5 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
|
27 |
1.75 2.333 1.4 0.7 |
2.333 1.75 1.167 1 |
2.75 1.333 3.4 3.7 |
1.333 3.333 2.75 0.75 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
|
28 |
2 2.667 1.6 0.8 |
2.667 2 1.333 1.143 |
3 1.667 3.6 3.8 |
1.667 3.667 3 1 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
29 |
2.25 3 1.8 0.9 |
3 2.25 1.5 1.286 |
3.25 2 3.8 3.9 |
2 4 3.25 1.25 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
|
30 |
3.75 5 3 1.5 |
5 3.75 2.5 2.143 |
4.75 4 5 4.5 |
4 6 4.75 2.75 |
0.945 -0.11 -0.138 -0.276 |
-0.11 0.779 -0.276 -0.552 |
-0.276 -0.552 -0.69 -0.379 |
-0.138 -0.276 0.655 -0.69 |
Контрольные вопросы:
Дайте определение линейно зависимой и независимой системы.
Что такое линейное пространство.
Что такое базис пространства.
Что значит, исследовать систему векторов на линейную зависимость.
Лабораторная работа №6
Элементарная теория линейных операторов
Цель работы
Исследование линейных операторов средствами Mathcad.
Порядок выполнения работы:
1. Вспомнить теорию линейных операторов: матрица линейных операторов, переход к другому базису, понятие образа и ядра линейного оператора, понятие собственных значений и векторов линейного оператора (см. Приложение G).
2. Оформить отчёт: ответить на контрольные вопросы и выполнить в среде Mathcad задания по номеру своего варианта.
Задание №6.1
«Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису»
Оператор
А,
действующий в линейном пространстве
Хn,
задан своей матрицей. Найдите координаты
образа у=А
вектора
Хn.
В линейном пространстве Хn
введите новый базис. Найдите координаты
вектора
Хn,
координаты образа у=А
и матрицу оператора в новом базисе.
Варианты заданий в Таблице
№2.1 (только
А),
выполните вычисления для
=(1
-1 2 -2).
Порядок выполнения задания:
Исходная матрица:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Введите
заданную матрицу оператора и вектор
:
3.
Вычислите координаты образа А
вектора
:
4. Введите матрицу Р перехода к новому базису в пространстве Хn и найдите обратную к ней:
5. Найдите
координаты вектора
,
образа А
в новом базисе, а также матрицу оператора
в новом базисе:
6. Сделайте проверку:
Задание №6.2
«Образ и ядро линейного оператора»
Опишите
структуру образа и ядра линейного
оператора, действующего в линейном
пространстве Х,
заданного своей матрицей (у
всех одинаковая). Проверьте, принадлежат
ли векторы
,
ядру оператора, а векторы
,
– его образу. Варианты заданий в Таблице
№6.2..
Порядок выполнения задания:
Исходная матрица: Исходные вектора:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равной единице:
3. Введите
матрицу оператора и векторы-столбцы
,
,
,
:
4. Вычислите ранг матрицы оператора. Сформулируйте вывод о ранге и дефекте оператора:
Ранг оператора r=3, дефект оператора d=n-r=4-3=1.
5. Приведите матрицу оператора к ступенчатому виду:
6. Укажите базис в образе оператора.
В данном примере базис оператора образует векторы:
7. Запишите линейную однородную систему, которая описывает ядро оператора, и разрешите её относительно базисных переменных:
Базисные переменные x2, x3, x4, свободная переменная x1.
8. Найдите базис в ядре оператора:
В данном
примере это вектор
1.
9.
Проверьте принадлежность векторов
и
ядру оператора:
Вектор
А
отличен от нуля,
не принадлежитKer(A),
Ay=0,
принадлежит
Ker(A).
10.
Проверьте принадлежность векторов
и
образу оператора:
Базисные
столбцы матрицы оператора и вектор
образуют линейно зависимую систему;
вектор
принадлежитIm(A).
Базисные
столбцы матрицы оператора и вектор
образуют линейно независимую систему;
вектор
не принадлежит Im(A).
Таблица №6.2
|
№ |
X |
Y |
U |
V |
№ |
X |
Y |
U |
V |
|
1 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.103 -0.359 -0.083 0.088 |
1.103 0.641 0.917 1.088 |
16 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.128 -3.949 -0.917 0.973 |
2.128 -2.949 0.083 1.973 |
|
2 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.205 -0.718 -0.167 0.177 |
1.205 0.282 0.833 1.177 |
17 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.231 -4.308 -1 1.062 |
2.231 -3.308 0 2.062 |
|
3 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.308 -1.077 -0.25 0.265 |
1.308 -0.077 0.75 1.265 |
18 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.333 -4.667 -1.083 1.15 |
2.333 -3.667 -0.083 2.15 |
|
4 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.41 -1.436 -0.333 0.354 |
0.41 -1.436 0.667 1.354 |
19 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.436 -5.026 -1.167 1.238 |
2.436 -4.026 -0.167 2.238 |
|
5 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.513 -1.795 -0.417 0.442 |
0.513 -0.795 0.583 1.442 |
20 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.538 -5.385 -1.25 1.327 |
2.538 -4.385 -0.25 2.327 |
|
6 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.645 -2.154 -0.5 0.531 |
1.615 -1.154 0.5 1.531 |
21 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.641 -5.744 -1.333 1.415 |
2.641 -4.744 -0.333 2.415 |
|
7 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.718 -2.513 -0.583 0.619 |
1.718 -1.513 0.417 1.619 |
22 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.744 -6.103 -1.417 1.504 |
2.744 -5.103 -0.417 2.504 |
|
8 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.821 -2.872 -0.667 0.708 |
1.821 -1.872 0.333 1.708 |
23 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.846 -6.462 -1.5 1.592 |
2.846 -5.462 -0.5 2.592 |
|
9 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.923 -3.231 -0.75 0.796 |
1.923 -2.231 0.25 1.796 |
24 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.949 -6.821 -1.583 1.681 |
2.949 -5.821 -0.583 2.681 |
|
10 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.026 -3.59 -0.833 0.885 |
2.026 -2.59 0.167 1.885 |
25 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
2.051 -7.179 -1.667 1.769 |
3.051 -6.179 -0.667 2.769 |
|
11 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.103 -0.359 -0.083 0.088 |
1.103 0.641 0.917 1.088 |
26 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.128 -3.949 -0.917 0.973 |
2.128 -2.949 0.083 1.973 |
|
12 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.205 -0.718 -0.167 0.177 |
1.205 0.282 0.833 1.177 |
27 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.231 -4.308 -1 1.062 |
2.231 -3.308 0 2.062 |
|
13 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.308 -1.077 -0.25 0.265 |
1.308 -0.077 0.75 1.265 |
28 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.333 -4.667 -1.083 1.15 |
2.333 -3.667 -0.083 2.15 |
|
14 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
0.41 -1.436 -0.333 0.354 |
0.41 -1.436 0.667 1.354 |
29 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
1.436 -5.026 -1.167 1.238 |
2.436 -4.026 -0.167 2.238 |
|
15 |
0.18 0.898 0.359 0.18 |
1.18 1.898 1.359 1.18 |
0.513 -1.795 -0.417 0.442 |
0.513 -0.795 0.583 1.442 |
30 |
-0.18 -0.898 -0.359 -0.18 |
0.82 0.102 0.641 0.82 |
1.538 -5.385 -1.25 1.327 |
2.538 -4.385 -0.25 2.327 |
Задание №6.3
«Собственные значения и векторы линейного оператора»
Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей. Запишите матрицу оператора в базисе из собственных векторов, если таковой существует. Запишите матрицу перехода к собственному базису. Варианты заданий в Таблице №2.1 (только А).
Порядок выполнения задания:
1. Установите режим автоматических вычислений.
2. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
3. Введите матрицу оператора А:
4. Запишите характеристический многочлен и найдите корни оператора:
5. Для
каждого собственного значения
найдите
собственные векторы – фундаментальную
систему решений однородной системы(А-
)
=0:
6. Проверьте подстановкой правильность вычислений:
7. Запишите матрицу оператора в базисе из собственных векторов:
8. Найдите собственные значения и собственные векторы оператора:
9. Сравните результаты вычислений:
Контрольные вопросы:
1. Что такое область определения оператора.
2. Дайте определения образу и ядру линейного оператора.
3.Что такое дефект оператора.
4.Какое число называется собственным значением и какой вектор называется собственным вектором.
5. Какой базис называют собственным базисом оператора.
Приложение А