Грошева о.Ю.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

В СРЕДЕ MATHCAD

Учебное пособие

Часть 2

Пенза 2006

УДК 681.3.06

Рецензент:

Грошева О.Ю. Решение задач линейной алгебры в среде Mathcad: Учебное пособие / Под ред. – Пенза: Изд-во ПГТА, 2006-04-27

Рассматриваются вопросы практического применения вычислительной среды Mathcad. На подробных примерах показываются этапы работы в среде Mathcad. Пособие состоит из лабораторных работ, каждая из которых включает в себя несколько практических заданий, рассматривающих отдельный блок вопросов и процедур. Кроме того, каждое задание содержит ссылку на соответствующее приложение, в котором описывается теоретическая часть рассматриваемых процедур.

Учебное пособие подготовлено на кафедре «Автоматизация и управление» и предназначено для студентов специальности 2102, а также как самоучитель для начинающих изучать Mathcad.

Учебное пособие одобрено и рекомендовано Методическим советом ПГТА для использования в учебном процессе.

УДК 681.3.06

© Издательство ПГТА, 2006

© Грошева, 2006

ВВЕДЕНИЕ

Назначение

Учебное пособие предназначено для подготовки студентов, аспирантов, а также для тех, кто хочет научиться работать в вычислительной среде Mathcad.

Учебное пособие способствует овладению:

• Основными инструментами Mathcad для решения задач линейной алгебры, а также основными понятиями и определениями;

• Основными операциями Mathcad для решения систем линейных уравнений с использованием матрицы;

• Средствами Mathcad для исследования линейного пространства;

Материал учебного пособия может быть использован как для самостоятельного обучения, так и для обучения в группах.

Цель

Овладение принципами работы с вычислительной средой Mathcad даёт возможность:

1. Использовать инструменты Mathcad для решения задач линейной алгебры;

2. Применять операции и встроенные функции среды Mathcad при исследовании систем линейных алгебраических уравнений и линейного пространства;

Подход к изучению материала

Учебное пособие можно использовать для проведения теоретических и практических занятий. При изучении материала необходимо обратить внимание на функции и взаимодействие инструментальных средств: меню приложения, панелей инструментов и контекстного меню.

Для успешного освоения материал должен изучаться последовательно. Наибольшего результата при обучении можно добиться в том случае, если последовательно изучать каждое предлагаемое задание и примеры их выполнения. При необходимости обращаться к теоретическим приложениям, на которые указывают ссылки. После внимательного изучения каждого разобранного примера самостоятельно выполнить тренировочные задания и ответить на контрольные вопросы.

Используемые инструменты Mathcad

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Для этого существует панель операций с матрицами и векторами, которая открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

• - определение размеров матрицы;

• - ввод нижнего индекса;

• - вычисление обратной матрицы;

• - вычисление определителя матрицы

• - поэлементные операции с матрицами:

• - определение столбца матрицы;

• - транспонирование матрицы

• - вычисление скалярного произведения векторов

• - вычисление векторного произведения двух векторов

• - вычисление суммы компонент вектора

• - определение диапазона изменения переменной

• - визуализация цифровой информации, сохранённой в матрице.

Меню символьных операций с матрицами содержит три функции – Переместить (Transpose), Инверсировать (Invert) и Вычисление детерминанта (Determinant).

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функций, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix(m,n,f) – создаёт и заполняет матрицу размерности m×n, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y);

diag(v) – создаёт диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создаёт единичную матрицу порядка n;

augment(A,B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

stack(A,B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix(A,ir,jr,ic,jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir≤ jr, ic≤ jc,.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, то перед началом работы нужно определять значение переменной ORIGIN, равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN:=0.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

• last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;

• length(v) – вычисление количества компонент вектора v;

• rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;

• cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;

• max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;

• min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;

• tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы A (след матрицы равен сумме её диагональных элементов);

• rank(A) – вычисление ранга матрицы A (определение ранга матрицы);

• norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы A (определение норм матрицы).

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

• rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);

• eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы А (определение собственных значений);

• eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, причём порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

• eigenvec(A,I) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению I;

• Isolve(A,b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.