9. 8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений

10. Рассмотрим матрицу

размера m×n. Выберем в А произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы А будем обозначать r (А). Если все элементы А равны нулю, то полагаем r (A)=0. Можно обосновать следующее правило вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор К-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержащие его целиком внутри себя). Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример 1. Вычислить ранг матрицы

.

Заметим, что в матрице А содержатся отличные от нуля миноры 2-го порядка, например,

.

Оба минора 3-го порядка, окаймляющие минор D, равны нулю:

, .

Таким образом, .

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(I)

Матрицы

,

называются соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы (I).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (I) совместна тогда и только тогда, когда r (A) = r (A*).

Эту теорему мы доказывать не будем, но укажем, как практически отыскать все решения системы (I).

Пусть r (A) = r (A*) = r, т.е. система (I) совместна. Если вычислять r (А) методом окаймляющих миноров, то в матрице А найдем минор r –го порядка D0.

Оставляем в системе лишь те r уравнений, коэффициенты которых вошли в D. Получим систему (2). Оказывается, что каждое из отброшенных уравнений является суммой уравнений (2), умноженных на некоторые числа.

Если r = n, то по теореме Крамера система (2) имеет единственное решение, которое находим, например, по формулам Крамера.

Если же r < n, то в левых частях уравнений системы (2) оставляем те r неизвестных, коэффициенты при которых вошли в D. Остальные члены объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных (например, по формулам Крамера), находим все (бесконечно много) решения системы (2). А значит, и системы (I).

В частности справедливо предположение, что совместная система (I) тогда и только тогда обладает единственным решением, когда r (A) = n, т.е. ранг матрицы А равен числу неизвестных.

Следствие. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными

тогда и только тогда имеет ненулевое значение, когда

.

Пример 2. Решить систему

Здесь

, ,

r (A) = 2 (пример 1),

.

Минор матрицы А*, окаймляющий D не входящий в А, равен 0.

Таким образом, r (A*) = 2 и система совместна. Коэффициенты 3-го уравнения не входят в минор D, поэтому 3-е уравнение можно отбросить (действительно, оно является суммой I-го и 2-го, умноженного на 5). Получим

Коэффициенты при х₁ и х₄ не входят в D, объявляем х₁ и х₄ свободными и переносим в правую часть: