25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Запишем систему (1) в матричном виде:
AX=B,
где
А=
,X=
,B=
.
(2)
Предполагая,
что диагональные элементы aii
0
(i=1,
2,…, n),выразим
x1
через первое уравнение системы, x2-
через второе уравнение и т.д. В результате
получим систему, эквивалентную системе
(1):
(3)
Обозначим
,
гдеi=1,
2,…, n;
j=1,
2,…, n.
Тогда система (3) запишется таким образом:
(3')
Система (3') называется системой, приведенной к нормальному виду. Введя обозначения.
,
,
Запишем систему (3’) в матричной форме:
или
=
+
∙
.
(4)
Решим систему (4) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов:
=
-
нулевое приближение,
далее, построим матрицы-столбцы
=
+
∙
- первое
приближение;
=
+
∙
-
второе приближение.
и т.д.
Вообще, любое (k+1)-e приближение вычисляют по формуле
X(k+1)=
+
X(k)
(k=0,
1,…, n).
(5)
Если
последовательность приближений X(0),
X(1),…,X(k)
имеет предел
,
то этот предел является решением системы
(3), поскольку по свойству предела
,
т.е.
.
Пример 1. Методом последовательных приближений решить систему
Решение. 1) Приведём данную систему к нормальному виду.
,
.
2) Строим последовательные приближения. Нулевое приближение.
.
Первое приближение.
+
∙
=
Второе приближение.
+
∙
=
Третье приближение.
+
∙
=
Таким образом, x1=2,9935; x2=1,0068; x3=1,0068 и с точностью до 10-1 поучаем x1=3; x2=1; x3=1.
Пример 2.Методом итерации решить следующую систему с точностью до 10-3.
Решение. 1) Приведём данную систему к нормальному виду или
или
Заметим, что линейную систему можно привести к нормальному виду также следующим образом: записать коэффициенты при x1, x2, x3 в соответствующих уравнениях системы (*) в виде kx, где k- число, близкое к коэффициенту при соответствующем неизвестном и на которое легко разделить коэффициенты при неизвестных и свободные члены.
Например:
Перепишем систему (*) таким образом:
Матрица
и вектор
принимают вид
2) Последовательно находим
,
+
∙
=
,
+
∙
=
.
Таким образом, с точностью до 10-3 получаем
x1=0,236; x2=1,103; x3= -0,214.