21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)

Потенциалами выступают определенным образом подобранные числа, с помощью которых можно проверить, является ли допустимый план одновременно и оптимальным.

Сумма потенциалов строки и столбца должна быть равна показателю оптимальности c_ij, т.е.

где - потенциал строки;

- потенциал столбца;

- критерий оптимальности (равный показателю c_ij из условия задачи для вошедших в опорный план клеток).

Рассмотрим технику транспортной задачи вручную на конкретном примере, заданном таблицей.

	D1	D2	D3	D4	D5	Мощность
S1	5	8	3	10	4	40
S2	10	7	9	6	5	120
S3	7	3	6	4	12	70
S4	6	3	11	5	4	40
Спрос	80	50	60	20	60	270

Решение:

1.Составляем первый опорный план методом Северо-Западного угла.

	D1	D2	D3	D4	D5	Мощность
S1	40					40
S2	40	50	30			120
S3			30	20	20	70
S4					40	40
Спрос	80	50	60	20	60	270

Целевая функция для этого плана F=1880.

2. Определяем потенциалы из первого опорного плана для заполненных клеток.

u v	4=5-1	1=7-6	3=9-6	1=4-3	9=12-3
1	5
6=10-4	10	7	9
3=6-3			6	4	12
-5=4-					4

Значения в выделенных клетках переносятся из условий задачи и равны c_ij.

3. Заполняем свободные клетки таблицы потенциалов.

Рассмотрим более подробно фрагмент:

u v	4	1
1	5	2 -6

Показатель Е называется характеристикой свободных переменных.

Если Е<0 для всех свободных переменных, то исходный план определяет оптимальное решение.

Если Е>0, то можно путем перераспределения поставок улучшить значение функции цели (F). Для этого следует отметить, что перераспределение поставок цепи к этой клетке уменьшает функционал (в расчете на единицу перераспределяемой продукции) на величину характеристики (Е).

Вся таблица имеет вид

		D1	D2	D3	D4	D5
	u v	4	1	3	1	9
S1	1	5	2 8	4 3	2 10	10 4
			-6	1	-8	6
S2	6	10	7	9	7 6	15 5
					1	10
S3	3	7 7	4 3	6	4	12
		0	1
S4	-5	-1 6	-4 3	-2 11	-4 5	4
		-7	-7	-13	-9

4. Находим max значение характеристики свободных переменных (E=max). В нашем примере она находится в клетке S₂ - D₅, и равна 10.

5. Вводим свободную переменную +Q в клетку S₂ - D₅ (см. первый опорный план).

Запомните:

Абсолютная величина поставки Q должна быть в точности равна величине возможных ликвидируемых поставок (в нашем случае +Q=20).

Баланс по столбцам и строкам не должен нарушаться (в нашем примере из-за введения свободной переменной +Q=20 нарушен баланс по строке S₂).

Чтобы сохранить баланс в строке S₂, вводим в клетку S₂ - D₃ свободную переменную -Q=20. Этим самым баланс по строке S₂ восстановлен, но нарушен баланс по столбцу D₃. Восстанавливая его, в клетку S₃ - D₃ введем переменную +Q=20 и в клетку S₃ – D₅ – переменную -Q=20. Эта процедура носит название построение цепей. Очевидно, что цепи должны быть замкнуты.

6. Составляем следующий план перевозок:

	D1	D2	D3	D4	D5	Мощность
S1	40					40
S2	40	50	10		20	120
S3			50	20		70
S4					40	40

Для этого плана целевая функция F=1680 (сравн. с первым планом). Приращение функции цели всегда равно .

Вновь составляем таблицу потенциалов и далее – новый план. Всего для решения рассматриваемой задачи составляется 8 планов перевозок. В итоге 8-й итерации получаем следующее оптимальное решение, для которого целевая функция F=1450→min:

	D1	D2	D3	D4	D5	Мощность
S1			40			40
S2	40		0	20	60	120
S3		50	20		0	70
S4	40					40

Проверьте себя.

Решите транспортную задачу вручную (методом потенциалов).

Исходные данные - в следующей таблице: