7. 7. Матрицы

Рассмотрим прямоугольную числовую таблицу (матрицу)

которая имеет размеры (m строк, n столбцов). Сокращенная запись:

Элемент матрицы А расположен вi – й строке и j – м столбце.

Пример 1. Матрица

имеет две строки и четыре столбца (размеры 2×4).

Если m=n, то А называется квадратной матрицей порядка n.

Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой получаются из элементов матрицы А умножением на .

Пример 2.

,

Если ,- матрицы одинакового размера, матрица того же размера,называетсясуммой матриц А и В (С=А+В).

Пример 3.

Пусть А=() – матрица размераm×n, В=() – матрица размераn×p, т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Произведением матрицы А на В называется матрица С=() размераm×p (C=A∙B), элементы которой находят по следующему правилу: элемент i –й строки и j –ого столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А на соответствующие элементы j –ого столбца матрицы В, т.е.

,

Пример 4.

Пример 5. Если

,

то произведение АВ не определено.

Пример 6.

;

Таким образом, коммутативность умножения матриц в общем случае не имеет место. Можно проверить, что умножение матриц ассоциативно, т.е.

во всех случаях, когда умножение определено, а сложение и умножение связаны законами дистрибутивности:

.

Можно сказать также, что если А и В – две квадратные матрицы, то

(1)

Рассмотрим квадратные матрицы вида:

.

Такие матрицы называются единичными, так как если А – произвольная квадратная матрица порядка n, Е – единичная матрица порядка n, то

АЕ=ЕА=А.

Пусть дана квадратная матрица

порядка n. Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной для А, если АА^-1=А^-1А=Е. Матрица А называется невырожденной, если .

Теорема. Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Доказательство. Пусть . Предположим, что матрица А имеет обратную. Тогда ввиду (1) получаем, что. Противоречие.

Пусть теперь ,- алгебраическое дополнение элементав.

Покажем, что

(2)

Заметим, что здесь алгебраическое дополнение элементов i-ой строки матрицы составляетi-й столбец.

Если , то

В силу свойства 7, 8 определителей (см.раздел 1)

Таким образом, С=Е. Аналогично доказывается, что ВА=Е т.е. В=А^-1. Теорема доказана.

Обратную матрицу для невырожденной матрицы А находят по формуле (2).

Пример 7. Найти А^-1, если

Решение.

По формуле (2)

Проверку сделайте самостоятельно.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(3)

Обозначим

.

Тогда система (3) равносильна матричному уравнению –

AX=B (4)

Предположим теперь, что , а значит, по теореме существует матрицаA^-1. Используя ассоциативность умножения матриц, легко решить матричное уравнение (4). Умножим обе части этого уравнения слева на A^-1:

т. е. .

Пример 8. Решить матричным способом систему уравнений

В нашем случае

найдена в примере 7 данного раздела. Итак,

т.е. x=1, y =0, z =-1.