Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид

Так как векторы лежат в искомой плоскости, то их векторное произведение перпендикулярно этой плоскости, а значит, можно принять за ее нормальный вектор:

Таким образом, А=B=С=5 и искомое уравнение имеет вид

или .

Теорема. Уравнение

(3)

где , определяет в пространстве некоторую плоскость и наоборот любая плоскость задается уравнением вида (3).

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

Доказательство. Известно, что любая плоскость задается уравнением (2). Раскрывая скобки в (2), получаем уравнение вида (3). Докажем теперь, что уравнение вида (3) определяет некоторую плоскость. Уравнение (3) имеет бесконечно много решений (если, например, , тоиможно придать любые значения, а затем найти). Пусть,,- одно из них, тогда

(4)

Вычитая из (3) равенство (4), получим равносильное (3) уравнение (2), которое задает плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору (А,В,С). Теорема доказана.

Заметим, что если в уравнении (3) D=0, то плоскость Р, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Если, например, А=0, то Р параллельна оси Оx, так как нормальный вектор (0, В, С) плоскости Р лежит в плоскости Оx. Уравнения x=0, y=0, z=0 соответственно определяют плоскости Оyz, Oxz, Oxy.

Пусть плоскости Р₁ и Р₂ заданы соответственно уравнениями

Тогда угол между плоскостями Р₁ и Р₂ равен углу между их нормальными векторами ит.е.

Плоскости Р₁ и Р₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы , т.е.

Плоскости Р₁ и Р₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны, т.е..

Пусть даны точка и плоскость Р, имеющая уравнение. Расстояниемежду ними, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из этой точки М₁ на плоскость Р, определяется формулой

Прямая в пространстве. Рассмотрим систему уравнений

(5)

каждое из которых задает плоскость. Если эти плоскости не параллельны, то система (5) определяет прямую, т.е. координаты точек этой прямой, только они удовлетворяют системе (5). Уравнения (5) называют общими уравнениями прямой.

Положение прямой L в пространстве вполне определяется заданием ее точки и параллельного ей вектора(рис.2), который называетсянаправляющим вектором прямой L. Пусть произвольная точка прямойL, . Так как векторыиколлинеарны, тоили

(6)

Уравнение (6) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой L. Приравняв координаты в уравнении (6), получим

(7)

Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой. При изменении параметра t изменяются координаты x, y, z и точка M(x,y,z) перемещается по прямой.

Если m, n, p0, то из (7) непосредственно получаем

(8)

Это каноническое уравнение прямой. Если, например, , то запись (условная)

также допускается. Она означает, что для всех точек прямойL (см.(7))

Пример 2. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и.

Решение. За направляющий вектор этой прямой можно взять вектор . Таким образом,,,и в силу (8) искомое уравнение

т.е.

Очевидно, что угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами, а условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны соответственно условиям коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов.

Сформулируем простейшие факты о прямой на плоскости Оxy.

1. Общее уравнение прямой:

(9)

, определяет на плоскости некоторую прямую. Наоборот, всякая прямая задается уравнением вида (9). Вектор (А,В) перпендикулярен прямой (он называется нормальным вектором прямой).

2. Если , то из (9) получаемуравнение прямой с угловым коэффициентом

, где (рис.3).

3. Если В=0, то (9) примет вид x=a.

4. Каноническое уравнение прямой имеет вид

(10)

Здесь вектор параллелен прямой (направляющий вектор), а точка М(x₁,y₁) лежит на прямой.

5. Расстояние от точки (x₀,y₀) до прямой определяется формулой

Отметим еще, что угол между двумя прямыми равен углу между двумя их нормальными (или направляющими) векторами. Прямые параллельны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда

.

Пример 3. Дан .

Найти уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из А.

Решение. Пусть D – середина отрезка ВС. Тогда

-

направляющий вектор медианы. Вектор перпендикулярен вектору, так как. Поэтому- направляющий вектор высоты. Далее,

единичный вектор в направлении , а

единичный вектор в направлении , поэтомуb+c – направляющий вектор биссектрисы. Остается применить формулу (10).