Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что

Теорема 1. Если , то

(1)

Доказательство.Используя свойства 4, 5 получим (как при доказательстве теоремы из параграфа 4).

Подставим вместо векторного произведения орт их значения. Тогда

Остается вспомнить определение определителя третьего порядка. Теорема доказана.

Пример 1. Найти вектор, перпендикулярный плоскости вектора и вектора.

Решение. Одним из таких векторов будет . По формуле (1)

.

Пример 2. Даны точки А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2). Найти площадь треугольника АВС.

Решение. Так как , то

По свойству 1) векторного произведения

Смешанным произведением векторов ,,называется число . Отметим некоторые свойства смешанного произведения.

1. тогда и только тогда, когда ,,- компланарные векторы (условие компланарности трех векторов).

Действительно, если ,,- компланарные векторы, то вектор перпендикулярен вектору, а значит. Обратно, пусть . Если, тои – коллинеарны, поэтому ,,- компланарные векторы. Если , то ,,- компланарные векторы. Если же и, то векторыиперпендикулярны. Это означает, что векторпараллелен плоскости векторовт.е. ,,- компланарны.

2. Если , то числоравно объему параллелепипеда (V_пар), построенного на векторах ,,. Пусть h – высота параллелепипеда (рис.3), а S – площадь параллелограмма построенного на векторах ,. Тогда V_пар.=

3.

Это следует из свойства (2) определителей и следующего утверждения.

Теорема 2. Если в базе i, j, k векторы a, b, c имеют вид:

,

то

(2)

Доказательство. По теореме 1.

Далее, в силу теоремы из раздела 4

что является разложением определителя из формулы (2) по третьей строке.

Пример 3. Показать, что точки А(5,7,-2), В(3,1,-1), С(9,4,-4), D(1,5,0) лежат в одной плоскости.

Решение. Точки А, В, С, D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Так как

,

то

Поэтому - компланарные векторы (свойство 1).

Пример 4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах

, ,

Решение. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту. У параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, та же высота, площадь основания в два раза больше. Поэтому

; V_пир.=14.

6. Уравнение плоскости и прямой

П

Рис.1

усть в пространстве задана декартова прямоугольная система координатOxyz. Плоскость P вполне определяется заданием ее точки и ненулевого вектора, перпендикулярной плоскости. Векторназываетсянормальным вектором плоскости Р. Пусть - произвольная точка Р;- ее радиус-вектор,a - радиус-вектор точки М₀ (рис.1). Тогда лежит в плоскости Р, а значит перпендикулярен вектору. Это возможно тогда и только тогда (см.свойство 5 скалярного произведения ), когда

(1)

Уравнение (1) называется векторным уравнением плоскости. Так как , то в силу теоремы из раздела 4 уравнение (1) равносильно уравнению

(2)

Уравнение (2) задает плоскость Р, которая проходит через заданную точку перпендикулярно вектору нормали. Координаты точек плоскости Р и только они удовлетворяют уравнению (2).

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1,-1,0), М₂(2,1,-3), М₃(-1,0,1).