5. 4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение

Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат в пространствеOxyz. Напомним , что точка О называется началом координат, ось Ox – осью абсцисс, ось Oy – осью ординат, ось Oz – осью аппликат, плоскости Oxy_, Oxz_, Oyz – координатными плоскостями.

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора .(рис.1) называют ортами, а базис –ортонормированным.

П

Рис.1

усть М(x,y,z) – произвольная точка пространства с координатами x, y, z. Вектор - называетсярадиус-вектором точки М. Проведя через точку М плоскости, параллельные координатным плоскостям, получим параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Заметим, что

т.е.. По теореме Пифагора. Если в пространстве заданы две точки А(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) (рис.2), то т.е. координаты вектораравны разностям соответствующих координат его конца и начала. Поэтому

П

Рис.2

о этой формуле вычисляют также расстояние между точками А и В.Углом между векторами a и b называется наименьший угол АОВ между этими векторами, приведенными к общему началу О (рис.3). Обозначение: . Очевидно,.

Скалярным произведением векторов и называется число

φ(1)

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1) .

Действительно, ;

2) .

Это свойство прямо следует из определения скалярного произведения.

3) .

При доказательстве ограничимся случаем >0. Тогдаа значит. Аналогично доказывается равенство;

4)

Это свойство примем без доказательства.

5) тогда и только тогда, когда либо, либо, либо векторы и перпендикулярны.

Это следует из того факта, что тогда и только тогда, когда

.

Теорема. Пусть

Тогда

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов в ортонормированном базисе.

Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим

по свойству 1) , а по свойству 5) и 2).

Поэтому . Теорема доказана.

Угол между векторами. Пусть - ненулевые векторы. Из формулы (1) и теоремы получаем

(2)

Условие перпендикулярности векторов. В силу свойства 5) и теоремы, векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(3)

Пример 1. Найти угол между векторами

Решение. По формуле (2)

т.е. .

Пример 2. При каком m векторы иперпендикулярны?

Решение. По формуле (3) . По свойству 5) векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда . От сюда заключаем, чтоm=4.

6. 5. Векторное и смешанное произведения

Векторным произведениемвектора на векторназывается вектор (), который определяется следующим образом:

1)

2

Рис.1

) перпендикулярен плоскости векторов и ;

3) направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (рис.1).

Рассмотрим теперь основные свойства векторного произведения:

1. если и – неколлинеарные векторы, тоесть площадь параллелограмма, построенного на векторах и (рис.1), а- площадь треугольника, построенного на векторах и .

Свойство 2) непосредственно следует из 1)

2) тогда и только тогда, когда и коллинеарные векторы.

3) .

Действительно, из определения векторного произведения следует, что векторы иимеют одинаковые длины, коллинеарны, но направлены в разные стороны.

4)

Рекомендуется самостоятельно доказать это свойство.

5)

Вывод этой формулы не приводим.

Векторное произведение орт(рис.2)