4. 3. Векторы и ленейные операции над ними

Если у произвольного отрезка в пространстве точки, которые ограничивают этот отрезок, рассматривать в определенном порядке, то такой отрезок называется направленным. Первая из двух этих точек называется началом направленного отрезка, вторая – его концом. Направленный отрезок называется также вектором.

Вектор с началом А и концом В обозначается .

Векторы часто обозначаются и одной буквой (иногда с черточкой сверху) :На рис. 1 вектор изображается отрезком , имеющим у конца стрелку.

Д

Рис.1

линой (модулем)вектора назевается длина отрезка АВ. Модуль вектора обычно обозначается так: .

Рассматривают также вектор, у которого конец совпадает с началом. Такой вектор – точку называют нулевым и обозначают (точка А при этом любая). Направление нулевого вектора не определено, а длина его считается равной нулю.

Вектора, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Поэтому вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Пример 1. Пусть дан квадрат ABCD (Рис.2). Тогда .Произведением вектора на действительное числоназывается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2

Рис.2

) векторколлинеарен ;

3) если , то векторнаправлен в одну сторону с , если же , то в противоположную.

Вектор называетсяпротивоположным вектору .

Пример 2. Дан вектор . Построим вектор (рис.4).

З

Рис.3

аметим, чтотогда и только тогда, когдаили. Если, то- вектор единичной длины. Переход от векторак векторуназываетсянормированием.

Пусть - два произвольных вектора. Возьмем любую точку О и построим вектор. Затем от точки А отложим вектор. Тогданазываетсясуммой векторов и .

Р

Рис.4

азностью векторов и называется вектор. Векторыиявляются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и (рис.3). Легко убедится, что,для любых векторов , и чисел.

Пусть - векторы,- действительно числа. Векторназываетсялинейной комбинацией векторов .

Векторы называютсялинейно независимыми, если равенство

(1)

выполняется только при . В противном случае, эти векторы называютсялинейно зависимыми.

Лемма. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство. Действительно, пусть - линейно зависимы, т.е. равенство (1), если, такое:

Э

Рис.5

то значит, что векторесть линейная комбинация векторов.

Обратно, пусть, например, . Тогда

Равенство (1) выполняется при , а значит, векторы- линейно зависимы. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора . Тогда и – линейно независимые векторы и любой вектор этой плоскости однозначно представим в виде их линейной комбинации.

Доказательство. Предположим, что и – линейно зависимые векторы. Тогда в силу леммыили. В любом случае получается, что векторы и коллинеарны, что противоречит условию.

Р

Рис.5

ассмотрим в плоскости векторов и произвольный вектор. Считаем, что все три вектора имеют общее начало О (рис.5). Через конец М векторапроведем прямые, параллельные векторам и , до их пересечения в точках А и В с прямыми, на которых расположены векторы и . Заметим, что, где, если векторыи направлены в одну сторону (как на рис.5). Если же и направлены противоположно, то аналогично. Так как, то

(2)

Осталось доказать, что разложение (2) вектора по векторам и единственное. Действительно, пусть

(3)

Почленно вычитая из равенства (2) равенство (3), получим

Отсюда в силу линейной независимости векторов и получаем, что, т.е.. Теорема полностью доказана.

Теорема 2. Три некомпланарных вектора линейно независимы. Любой вектор единственным образом разложим в их линейную комбинацию.

Доказательство можно провести по той же схеме.

Определение. Базисом на плоскости называют два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Под базисом в пространстве понимают любую тройку некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.

Пусть , – некоторый базис плоскости. По теореме 1 любой векторэтой плоскости можно однозначно записать в виде.

Числа называютсякоординатами вектора в базе , . Часто векторотождествляют с его координатной строкой и пишут. Например,

.

Теорема 3. При сложении векторов их координаты (в фиксированном базисе) складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Действительно, если , - произвольные число, то

Аналогично по теореме 2 любой вектор однозначно разлагается по базисупространства:

,

числа - координаты вектора в базе и ,теорема 3 справедлива.

Пример 3. В некотором базисе пространства заданы векторы . Найти вектор.

Решение.

Дадим теперь понятие n–мерного векторного пространства. Вектор на плоскости называетсядвумерным (это строчка чисел длины 2), а вектор -трехмерным (строчка длины 3). Поэтому естественно назвать n–мерным вектором строчку чисел длины . Числаназываютсякоординатами вектора . Двап–мерных вектора считаются равными, если равны их соответствующие координаты. По определению (по аналогии с теоремой 3), если , ,- произвольное действительное число, то

Далее, вектор называетсянулевым, а вектор -противоположным вектору .

Определение. Множество всех п –мерных векторов с операцией сложения и умножения на число называется п–мерным векторным (линейным) пространством и обозначается Rⁿ.

Определение линейной зависимости и независимости векторов, линейной комбинации векторов переносится без изменения и на пространство Rⁿ.

Легко проверить, что векторы образуют базис пространстваRⁿ , т.е. являются линейно независимыми, и любой вектор из Rⁿ есть линейная комбинация векторов .