31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
Пусть дана неособенная матрица А и требуется найти ей обратную А-1 . Предположим, что мы получили приближенное значение обратной матрицы
.
Тогда для улучшения точности воспользуемся методом последовательных приближений следующим образом. За нулевое приближение обратной матрицы А-1 принимаем значение D0 погрешность которого есть матрица
Дальнейшие последовательные приближения будем строить по формуле
(1)
и соответствующая погрешность
Если
все элементы матрицы
удовлетворяют
неравенству
где n-порядок
матрицы и
то процесс итерации заведомо сходится.
Оценка погрешности данного метода имеет вид
(2)
где под нормой понимается норма 1 и норма 2.
Процесс уточнения элементов обратной матрицы
исправить элементы приближенной обратной матрицы с точностью до 10-5 .
Решение. 1) Методом Гаусса находим приближенную обратную матрицу
Далее, получаем
Так
как
то итерационный процесс сходится.
2) Пользуясь формулой (1), находим следующее приближение D1 . Имеем
3) Аналогичным образом получим приближение D2
Следовательно,
Упражнения
1. Вычислить АВ, если
а)
б)
Ответы:
а)
б)
2. Вычислить 2(А+В)(2В-А), если
а)
б)
Ответы:
а)
б)
3. Найти произведение XY, если
а)
б)
в)
Ответы:
а)
б)
в) 409.
4. Найти произведение АХ, если
а)
б)
Ответы:
а)
б)
5. Вычислить определители
а)
б)
в)
Ответы: а) 22; б) -26; в) 4279,1.
6. Вычислить А-1 для следующих матриц:
а)
б)
в)
Ответы:
а)
б)
в)
7. Для матриц
и
вычислить норму 1, 2 и норму 3.
Ответы:
а)
=1,9;
=1,9;
=2,55;
б)
=1,45;
=1,07;
=1,20.
8. Найти АВ, где
Двумя способами: а) разбив А и В на квадратные клетки; б) разбив А и В на клетки окаймлением
9. Вычислить А-1, применив разбиение на квадратные клетки и окаймление, если:
а)
б)
Ответы:
а)
б)
10. Матрицы, заданные в упр. 9, разложить на произведение двух треугольных и обратить их, применяя разложение матриц на произведение двух треугольных.
Ответы:
а)
б)
11. Решить матричные уравнения:
а)
б)
Ответы:
а)
б)
12. Следующие системы линейных уравнений решить по формулам Крамера:
а)
б)
Ответы:
а)
=0,
=
-1,
=2;
б)x=2,
y=
-2, z=1.
13. Решить следующие системы по схеме Гаусса:
а)
б)
Ответы:
а)
=1,
=
-1,
=1,
=-1;
б)
=-1,
=
2,
=0,
=3.
14. С точность до 0,001 решить следующие системы по схеме Гаусса:
а)
б)
Ответы:
а)
=1,120,
=
-0,341,
=-0,008;
б)x=0,008,
y=
-0,231, z=0,042.
15. Вычислить определители по схеме Гаусса:
а)
б)
Ответы: а) d=88; б) d=2111,97.
16. Обратить следующие матрицы по схеме Гаусса:
а)
б)
Вычисления вести с тремя десятичными знаками, ответ округлить до двух десятичных знаков.
Ответы:
а)
б)
17. Решить следующие системы линейных уравнений с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, предварительно определив необходимое количество шагов:
а)
б)
Ответы:
а)
=
-0,72,
=
1,88,
=
-0,92,
=
-1,94; б)x=1.22,
y=
-0,67, z=0,35.
18. Системы линейных уравнений из упр. 17 решить методом Зейделя, предварительно определив необходимое количество шагов.