24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам

1. Первый столбец – коэффициенты с_j.

Он, как и первая строка, отводится для показателей критерия оптимальности. Отличие между первой строкой и первым столбцом состоит в следующем:

1. Первая строка, в отличие от столбца, сохраняется лишь в первой симплексной таблице. Начиная со второй итерации верхняя строка перестает быть обязательной.

2. В первой строке указываются все без исключения (и основные, и дополнительные) показатели критерия оптимальности, т.е. все коэффициенты, с которыми неизвестные входят в целевую функцию. В первый же столбец входит только часть коэффициентов при неизвестных в целевой функции, т.к. число строк в матрице равно числу дополнительных неизвестных. Эта часть состоит из показателей, номера которых указаны во втором столбце (р^k).

1. Второй столбец – р^k (индеек k – номер итерации).

В этом столбце указываются номера неизвестных, входящих в базисное решение. Эти номера используют для нумерации соответствующих строк матрицы.

В первой симплексной таблице в столбце р⁰ указываются номера всех дополнительных переменных.

3. Третий столбец – х₀.

В первой симплексной таблице он заполняется свободными членами уравнений из системы ограничений. В процессе итеративного расчета эти показатели преобразуются в искомое решение. Поэтому данный столбец носит название итогового столбца.

4. Значение целевой функции F^k.

На пересечении итогового столбца в целевой строке указывается значение функционала F^k, соответствующее данному этапу решения, данной итерации k.

5. Столбцы «основания матрицы».

Обычно сначала располагаются столбцы для основных неизвестных, а вслед за ними – для дополнительных неизвестных.

В этих столбцах в первой симплексной таблице приводятся коэффициенты при неизвестных из уравнений исходных условий.

6. Последующие три столбца таблицы (, , ) имеют вспомогательное значения. Без этих столбцов можно обойтись, но они существенно облегчают проведение расчетов. Более подробно содержание этих столбцов будет рассматриваться ниже.

Пример

Рассмотрим симплексную задачу, записанную в общем виде:

F = 15x₁ + 20x₂ +5x₃  max.

Приведем задачу к канонической форме. Для этого в каждое из неравенств системы введем по одному неизвестному (дополнительному) – х₄, х₅. х₆. Тогда

F = 15x₁ + 20x₂ +5x₃  max.

Заполним первую симплексную таблицу.

			15	20	5	0	0	0
с0	р0	х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6			
0	х4	600	80	35	10	1	0	0
0	х5	520	15	60	0	0	1	0
0	х6	600	5	5	90	0	0	1
		F0=?	?	?	?	?	?	?

Мы заполним все клетки, исходя из условий задачи.

Чтобы заполнить клетку F⁰ в первой таблице, необходимо просуммировать произведения элементов столбца х⁰ на элементы столбца с⁰, т.е.

F⁰ = 600∙0 + 520∙0 +600∙0 =0.

Чтобы заполнить целевую строку в первой таблице, необходимо соответствующее значение с_j вычесть из суммы произведений элементов столбца х_j на элементы столбца с⁰.

Для столбца х₁ величина двойственной оценки будет определяться

(0∙80+0∙15+0∙5) – 15=-15;

Для х₂: (0 35+0 60+0 5) – 20=-20;

х₃: (0 10+0 0+0 90) – 5=-5 и т.д.

В итоге первая симплексная таблица будет выглядеть так:

Таблица 1

			15	20	5	0	0	0
с0	р0	х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6			
0	х4	600	80	35	10	1	0	0
0	х5	520	15	60	0	0	1	0
0	х6	600	5	5	90	0	0	1
		F0=0	-15	-20	-5	0	0	0

Решение:

Прежде чем приступать к решению, необходимо проверить, является ли предложенный в таблице план (решение) оптимальным.

Определение

Решение считается оптимальным, если все значения чисел в целевой строке положительны.

Если полученное решение не является оптимальным, то его можно улучшить. Для этого нужно:

1. Выбрать максимальное по абсолютной величине отрицательное значение числа в целевой строке.

В нашем примере таким числом будет (-20), находящееся в столбце «х₂». Именно это значение задает ключевой столбец.

Обратите внимание:

Ключевой столбец показывает, какое из х_j войдет в новое решение задачи. В нашем случае - неизвестное х₂.

Обратите внимания:

Чтобы включить в новое решение неизвестное х_j, улучшающее это решение, необходимо вывести из базисного решения одно из х_j, входящее в него.

2. Выбрать минимальное значение частного от деления элементов столбца х₀ на элементы ключевого столбца. Результаты этих расчетов заносятся в столбец «» симплексной таблицы.

В нашем примере эти отношения равны:

600/35=17,14;

520/60=8,67;

600/5=120.

Минимальное значение соответствует х₅ и равно 8,67. Это отношение задает ключевую строку.

3. Выбрать элемент, находящийся на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, который называется ключевым элементом.

В нашем примере ключевой элемент равен 60 и находится на пересечении столбца х₂ и строки х₅.

Обратите внимание:

Ключевым не может быть столбец, все элементы которого оказались отрицательными или нулевыми.

4. Просуммировать элементы матрицы по строкам (начиная от столбца х₀ и кончая столбцом х₆). Полученные суммы записываются в столбец «».

5. Преобразовать ключевую строку. Для этого

   1. Каждый элемент ключевой строки делится на ключевой элемент, начиная с элемента столбца «х₀»;

Фрагмент

х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6
600	80	35	10	1	0	0
520/60	15/60	60/60	0/60	0/60	1/60	0/60
600	5	5

1. В столбце р¹ записывается х₂ вместо х₅;

2. В столбце с_j записывается значение критерия оптимальности при х₂, т.е. 20.

1. Все остальные элементы симплексной таблицы пересчитывают, подчиняясь основному правилу. Это правило получило название правила диагонали или правила треугольника.

*

Если мы хотим в нашем примере пересчитать первый элемент столбца х₀, который равен 600, то необходимо произвести следующие вычисления:

.

При пересчете величины функции цели получаем:

.

Аналогичным образом поступаем со всеми другими элементами таблицы. В итоге получаем новую симплексную таблицу.

Таблица 2.

с0	Р1	х0	х1	х2	х3	х4	х5	х6			
0	х4	296,7	71,25	0	10	1	-0,58	0
20	х2	8,7	0,25	1	0	0	0,017	0
0	х6	556,7	3,75	0	90	0	-0,08	1
		1/3	-10	0	5	0	-0,33	0

Как видно из табл. 2, оптимальное решение не получено, т.е. необходимо продолжить решение, используя все рассмотренные правила преобразования симплексных таблиц.

Примечание 1.

Столбец «» используется для проверки хода решения по строкам. Сумма новых значений элементов строки должна равняться величине элемента этой строки и столбца «», преобразованного по правилу диагонали.

Примечание 2.

Величина функции цели должна равняться сумме произведений элементов столбца с_j на элементы столбца х₀.

Самостоятельно дорешайте эту задачу. В результате должно получиться:

F=236.7; x₁=3.31; x₂=7.8; x₃=6.05.

Примечание 3.

В столбце «» записываются частные от деления элемента в ключевом столбце и строке i на ключевой элемент.

Примечание 4.

В следующей таблице начинайте вычисления с помощью правила диагонали с целевой строки. Если все оценки положительны, то найдено оптимальное решение и остается заполнить столбец х₀. В этом случае основание матрицы пересчитывать не обязательно.