24. Симплексный метод решения задач линейного программирования

24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования

Задачи линейного программирования могут быть сведены к канонической форме. Введем обозначения:

x_j – искомые неизвестные, переменные величины (j = 1,…., n);

a_ij – коэффициенты при неизвестных в уравнениях и неравенствах исходных ограничений;

b_i - величина ограничения в соответствующем уравнении или неравенстве;

с_j – коэффициенты, с которыми неизвестные х_j входят в целевую функцию.

Формулировка задачи на максимум при n неизвестных дает функцию цели вида

F = c₁x₁ + c₂x₂ + ….+ c_jx_j +….+ c_nx_n  max.

Если мы имеем дело с канонической формой, то исходные ограничения задаются равенствами (в количестве m), т.е.

Выделяются требования неотрицательности неизвестных х_j, т.е.

х_j > 0.

Если мы имеем дело с производственными задачами, то ограничения в них обычно принимают форму неравенств (хотя бывают и равенства). Функция цели формулируется в них как на максимум, так и на минимум.

Тогда в общем виде и не в канонической форме задача линейного программирования записывается так:

F=c₁x₁+c₂x₂+...+c_jx_j+….+c_nx_n→max(min).

От общей формулировки задачи линейного программирования можно перейти к канонической.

1. Если в ограничениях не все значения b_i положительны, т.е. имеются некоторые b_i < 0, то необходимо все члены соответствующего уравнения (неравенства) умножить на (-1).

2. Чтобы преобразовать ограничение, записанное в форме неравенства, его превращают в уравнение. Для этого в него добавляется фиктивное неизвестное. При этом стараются в каждое неравенство ограничения ввести собственную фиктивную переменную, знак которой зависит от вида неравенства. Так, в неравенстве вида «<» фиктивные переменные вводятся со знаком плюс, а в неравенства вида «>» - со знаком минус.

В результате, после преобразование любой системы неравенств в систему симплексных уравнений, количество неизвестных в последней всегда будет больше количество уравнений. Кроме того, образуется единичная подматрица. С помощью этой подматрицы имеется возможность получения в исходной симплексной таблице допустимого решения и проверки его на оптимальность.

Примечание

Анализ системы (определение ранга матрицы) при больших ее размерах может оказаться очень трудоемким. Поэтому целесообразно сразу применять симплексную процедуру, а не отыскивать линейно независимые уравнения.

24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам

1. В первой верхней строке симплексной таблицы записываются показатели критерия оптимальности, т.е. коэффициенты при неизвестных в уравнении целевой функции F.

2. Вторая строка симплексной таблицы называется шапкой матрицы. В ней указываются номера всех неизвестных (основных и фиктивных), входящих в данную систему.

Симплексная таблица

					Показатели критерия оптимальности
с0		рk	х0		Шапка матрицы (номера неизвестных хj)				
Показатели критерия опти-мальности при неизвестных хj вошедших в план		Номера неизвестных хj вошедших в план	Итоговый столбец		Основание матрицы (коэффициенты при неизвестных хj в матрице ограничений)	Сумма элементов по строкам		Отношение элементов столбца х0 к элементам ключевого столбца	Коэффициент для пересчета элементов матрицы
			Значе-ние F		Целевая строка (двойственные оценки)

3. Далее идут строки, основная часть которых занята коэффициентами при неизвестных в уравнениях исходных условий. Этих строк должно быть в матрице столько, сколько в данной задаче ограничений, или столько, сколько дополнительных неизвестных.

4. Последняя строка носит название целевой строки и заполняется двойственными оценками.