Вариант 13
-
D1
D2
D3
D4
Мощность
S1
2
3
7
2
20
S2
5
4
9
4
100
S3
3
2
8
1
10
S4
8
7
6
2
50
Спрос
50
40
10
80
180
Примечание
Чтобы получить значение функционала в любой момент решения, достаточно найти сумму произведений мощностей на соответствующие им потенциалы строк и произведений спросов на соответствующие потенциалы столбцов.
Доказательство:
Формула для расчета величины функции цели имеет вид
.
Так как в пустых клетках величина хij = 0, то формулу можно записать иначе:
.
но
.
Отсюда
.
Вспомнив,
что
и
,
получим
.
Мы рассмотрели транспортную задачу и один из алгоритмов ее решения. Известно, что с помощью этого алгоритма можно решать и другие производственные задачи, а именно задачу о загрузке оборудования, задачу о назначении рабочих на работу, задачу о составлении плана-графика деталей в производство и другие. Но существует целый ряд производственных задач, которые нельзя свести к транспортной задаче.
22. Формализация производственных задач линейного программирования
Рассмотрим наиболее типичные производственные задачи.
Задача 1.
Предприятие заинтересовано в максимально возможном увеличении прибыли от реализации его продукции. На предприятии выпускаются детали типа А1, А2, А3, А4. Для их выпуска требуется пластмасса, сталь, оборудование. В наличии имеются 5220 кг пластмассы, 3200 кг стали. Рабочий фонд времени станков составляет 4130 ст./ч.
Расход ресурсов на обработку одной детали каждого типа приведен в таблице.
-
Ресурсы
Тип детали
А1
А2
А3
А4
Пластмасса
11
20
15
10
Сталь
10
22
18
13
Оборудование
25
17
24
15
Должны выпускаться детали типа:
А1 – не менее 30; А2 – не менее 25;
А3 – не менее 15; А4 – не менее 20.
Цена за каждую деталь установлена в размере:
А1 – 320 р., А2 – 270 р.,
А3 – 450 р., А4 – 410 р.
чтобы описать условия задачи с помощью математической модели, допустим, что деталей А1 нужно обработать х1 шт., А2 – х2 шт., А3 – х3 шт., А4 – х4 шт.
Введем ограничения по ресурсам, исходя из вышеприведенных условий:
Введем ограничения по ассортименту:
х1 > 30; х2 > 25; х3> 15; х4> 20.
Запишем функцию цели:
F=320x1 + 270x2 + 450x3 + 410x4 → max.
Задача 2.
Для получения металла предприятие должно составить шихту. На ее приготовление идут два компонента: руда и известняк. Предприятие располагает 300 т руды и 175 т известняка. В шихте ценного компонента (металла) должно быть не менее 14 т, щелочи – не более 7 т, серы – не более 1 т.
Содержание компонентов в одной тонне шихты приведено в следующей таблице.
|
Компоненты |
Содержание % |
Себестоимость 1 т, р. | ||
|
металл |
щелочь |
сера | ||
|
Руда |
15 |
6 |
2 |
45 |
|
Известняк |
3 |
12 |
4 |
12 |
Чтобы описать условие задачи с помощью математической модели, допустим, что
х1 – количество руды для приготовления шихты;
х2 – количество известняка для приготовления шихты.
Ограничения имеют вид
Запишем функцию цели:
F= 45x1 + 12x2 min.
Задача 3.
На участке имеется четыре станка: В1, В2, В3, В4. Рабочий фонд времени каждого станка соответственно равен: 48 ч., 62 ч., 38 ч., 12 ч.
На участке обрабатывается пять типов деталей: А1, А2, А3, А4, А5. Затраты времени на обработку одной детали на каждом станке приведены в таблице.
-
Детали
Станки
В1
В2
В3
В4
А1
1
2
3
1
А2
2
3
2
2
А3
4
2
1
2
А4
3
2
1
-
А5
-
-
2
1
Цена за каждую деталь установлена в размере: А1 – 25 р., А2 – 32 р., А3 – 21 р., А4 – 18 р., А5 – 11 р. Предприятие заинтересовано в увеличении прибыли.
Чтобы записать условие задачи с помощью математической модели, допустим, что:
х1 – количество деталей А1 (шт.);
х2 – количество деталей А2 (шт.);
х3 – количество деталей А3 (шт.);
х4 – количество деталей А4 (шт.);
х5 – количество деталей А5 (шт.).
Запишем ограничения по времени:
Функция цели будет иметь вид
F= 25x1 + 32x2 + 21х3 + 8х4 + 11х5 max.
Проверьте себя.
Запишите условия транспортной задачи с помощью уравнений и неравенств.
Задача 1.
|
Поставщики и их мощность |
Потребители и их спрос | ||||
|
D1 |
D2 |
D3 |
D4 | ||
|
30 |
21 |
29 |
45 | ||
|
S1 |
20 |
10 |
4 |
2 |
8 |
|
S2 |
25 |
6 |
7 |
9 |
1 |
|
S3 |
45 |
4 |
3 |
6 |
4 |
|
S4 |
30 |
3 |
5 |
1 |
6 |
Задача 2.
|
Поставщики и их мощность |
Потребители и их спрос | ||||
|
D1 |
D2 |
D3 |
D4 | ||
|
49 |
51 |
55 |
45 | ||
|
S1 |
60 |
2 |
2 |
8 |
10 |
|
S2 |
50 |
1 |
7 |
6 |
8 |
|
S3 |
40 |
6 |
5 |
4 |
6 |
|
S4 |
30 |
9 |
4 |
1 |
4 |