20. Постановка транспортной задачи

Предположим, имеется несколько предприятий-производителей. Они вывозят готовую продукцию на заводы-потребители. Перевозимая продукция должна быть однотонной и взаимозаменяемой.

Поставщики находятся от потребителей на различном расстоянии.

Количество продукции в цехах-изготовителях будем именовать мощностью.

Потребность цехов-потребителей в заданной продукции будем называть спросом.

20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.

Пусть заданы векторы S_i,D_jиc_ij, где

S_i– мощностьi-го цеха-изготовителя (i=1,…,m);

D_j– спросj-го цеха-потребителя (j=1,…,n);

c_ij– расстояние между каждымi-м поставщиком иj-м потребителем;

m– количество поставщиков;

n– количество потребителей.

Необходимо найти неизвестные показатели х_ij – количество продукции, перевозимой от поставщиков к потребителю (обратите внимание, что многие показатели х_ijмогут принимать нулевые значения).

Запомните:

Элементы матрицы c_ijназываютсякритериями оптимальности.

Совокупность всех элементов матрицы х_ijназываютсяпланом перевозки.

Проверьте себя:

Правильны ли следующие утверждения?

1. Векторы SиDназывают критериями оптимальности.

2. Элементы c_ij называют планом перевозки.

3. Элементы х_ij называют планом перевозки.

4. Элементы c_ij называют критериями оптимальности.

5. Показатели х_ij> 0.

6. Показатели х_ij< 0.

7. Показатели х_ij> 0.

8. Неизвестными являются показатели х_ij.

9. Неизвестными являются показатели с_ij.

10. Неизвестными являются показатели S_iиD_j.

Рассмотрим условия задачи с помощью таблицы.

Поставщики и их мощность		Потребители и их спрос
		D1	…	Dj	…	Dn
		d1	…	dj	…	dn
S1	s1	с11 х11	…	с1j х1j	…	с1n х1n
…	…	…	…	…	…	…
Si	si	ci1 xi1	…	cij хij	…	cin хin
…	…	…	…	…	…	…
Sm	sm	cm1 хm1	…		…	cmn хmn

1. Каждый поставщик должен отдать потребителям столько продукции, сколько у него есть. Это значит, что сумма поставок по строке должна быть равна мощности этой строки, т.е.

Таких соотношений столько, сколько строк в таблице.

2. Каждый потребитель должен получить столько продукции, сколько ему требуется. Это значит, что сумма поставок по столбцу должна быть равна спросу этого столбца, т.е.

Таких соотношений столько, сколько столбцов в таблице.

3. Поскольку полная сумма не зависит от того, как производилось суммирование (по строкам или по столбцам), то сумма мощностей производителя должна быть равна суммарному спросу всех потребителей, т.е.

4. Требуется составить такой план перевозок, при котором грузооборот будет минимальным

Этот план называется оптимальным.

5. Показатели мощностей и спросов должны принимать неотрицательные значения, т.е.

S_i > 0 иd_j> 0.

6. Отрицательных поставок быть не должно, т.е.

х_ij> 0.

7. К показателям c_ij с математической точки зрения не предъявляется требование неотрицательности. Это вытекает из здравого смысла, т.е.

c_ij> 0.

Проверьте себя:

Какие утверждения являются неправильными?

1. Потребитель получает всю продукцию первого же поставщика.

2. Соотношений должно быть столько, сколько столбцов в матрице задачи.

3. Соотношений должно быть столько, сколько столбцов в матрице задачи.

4. Функция цели формулируется следующим образом:

5. Показатели S_iиd_jдолжны быть неотрицательными.

6. Поставки х_ijдолжны быть неотрицательными.

Запомните:

Количество неизвестных в задаче равно m×n.

Количество уравнений равно m+ n.

Одно (любое) уравнение линейно зависимо от остальных.

Количество линейно независимых уравнений равно m+ n- 1.