15. Норма матрицы

Рассмотрим матричную характеристику, которую можно грубо трактовать как «длину» матрицы.

Определение.Неотрицательное числоназываетсянормой матрицыА, если выполнены следующие свойства:

1. > 0, если А ≠ 0;

= 0, если А = 0;

2. 

3. 

4. 

5. 

Свойства 1-5 должны выполняться для любых матриц А, В и любого скаляра . При этом матрицы А и В имеют размеры, необходимые для сложения и умножения.

Определение допускает различные способы вычисления нормы матрицы.

В то же время это понятие должно обслуживать задачи, связанные с собственными значениями и системами уравнений.

Действительно, переходя к нормам в определении собственного столбца

АХ = Х,

получим:

. (16)

последнее неравенство будет иметь практическое значение, если не будет слишком большим. Для вычисления наименьшего значения нормы воспользуемся свойством 4:

Отсюда

.

Выражение

будет всегда меньше любой нормы матрицы А.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что это выражение удовлетворяет свойствам 1-5, т.е.

.

Ясно, что это выражение зависит от способа вычисления и выбора размеров матрицы В. Если В матрица-столбец, то АВ также будет матрицей-столбом. Выберем для матрицы-столбца

Х = (х₁х₂…х_n)^Т

.

Это формула задает семейство р-норм

.

Подсчитаем 1-норму матрицы, обозначив :

.

Знак равенства может достигаться для матрицы, у которой все компоненты ненулевые за исключением k-го, который равен 1, идостигается приj=k.

Упражнения

1. Найти .

2. Найти 1 – норму матриц:

а) б)

3. Найти ∞ - норму для упражнения 2.

4. Доказать:

а)

б) .

16. Итерационный метод

Методы решения линейных алгебраических уравнений, такие, как правило Крамера или метод исключения Гаусса, могут быть применены для расчета производственной программы Х или элементов обратной матрицы (Е - А)^-1. Однако корректное применение этих методов требует вычисления определителей.

Для матриц небольших размеров применение этих методов оправдано. Для матриц больших размеров более оправдано применение итерационных методов и ЭВМ.

Рассмотрим балансовое уравнение в матричной форме

X=AX+Y(17)

и последовательность матриц , которая получается с помощью итерационной формулы:

(18) Х₀=0.

Воспользуемся понятием матричной нормы для анализа поведения последовательности и укажем условия сходимости к решению Х уравнения (17). Вычтем Х из левой и правой части соотношения (18):

Из уравнения (17) Y=X–AX. Тогда

Переходя к нормам, получим

Если q<1, то получим

.

Чтобы установить скорость стремления к нулю, запишем цепочку неравенств, обозначив:

₁  q₀

₂  q₁

…

_k+1  q_k

…

Отсюда _k+1q^k+1₀и скорость стремления_kк нулю не хуже, чем скорость стремления к нулю общего члена геометрической прогрессии со знаменателемq.

Упражнения

1. Написать итерационный метод для решения системы линейных алгебраических уравнений АХ = В.

2. Доказать сходимость (18) если А – продуктивная матрица.

17. Возмущение решений

В этом параграфе рассмотрим влияние возмущений в матрице и правой части на решение уравнений вида

AX=Y. (19)

Теорема.Справедливо неравенство

, если.

Доказательство.Неравенстводает невырожденность матрицы (Е+А). действительно, соотношение (16) дает. Применяя Жорданово разложение матрицы, получим

E+A=E+TJT^-1=T(E+J)T^-1.

Отсюда . Треугольная матрица Е+Jне имеет нулей на главной диагонали и, следовательно,.

Справедливы равенства

Е=(Е+А)^-1(Е+А)=(Е+А)^-1+(Е+А)^-1А.

Так как , то

.

Отсюда

.

Предположим, что для квадратной матрицы А существует обратная матрица А^-1, следовательно, решение Х уравнения (19) единственно. Пусть вместо точных входных данных известны возмущенные входные данные А_h.Y^:

.

Итак, пусть А переходит а А_h,Yпереходит вY^. Тогда Х перейдет в Х^, которое удовлетворяет уравнению А_hX^=Y^. Запишем обозначения для возмущенийH=A_h-A,=Y^-Y,=X^-X. Возмущенное решение удовлетворяет уравнению

(A+H)(X+)=Y+.

Вычитая (3.19) из (3.20), получим (A+H)=-НХ. Предположим, что

.

Выразим

=(А-Н)^-1(-НХ)=(Е-А^-1Н)^-1А^-1(-НХ).

Переходя к нормам, получим

.

Теорема 3.8 дает

.

Из (19) следуют неравенства . С учетом этого

.

Следует отметить решающую роль в этой оценке числа

.

Системы линейных уравнений, для которых это число велико, называются плохо обусловленными.

Упражнения

1. Доказать, что если матрица А невырождена и , то матрица А+В также невырождена.

2. Показать, что число обусловленности cond(A) не меняется при умножении матрицы А на ненулевое число.

3. Доказать неравенство

.

4. Оценить возможное возмущение решений систем:

.

при изменении компонент правой части на 0.01.