12. Матрица

называется ортогональной, если t₁₁i+t₁₂j, t₂₁i+t₂₂j образуют ортонормированный базис в R², т.е. t²₁₁+t²₁₂=t²₂₁+t²₂₂=1, t₁₁t₁₂+t₂₁t₂₂=0. Другими словами, Т^'=T^-1, где Т^' получается из Т транспонированием. Аналогично определяется ортогональная матрица 3-го порядка.

Теорема 2. Для каждой симметрической матрицы А можно найти такую ортогональную матрицу Т, что матрица ТАТ^-1 будет диагональной.

Это является следствием предыдущей теоремы и теоремы 1 раздела 9.

Пример. Пусть

.

Найти такую ортогональную матрицу Т, что ТАТ^-1– диагональная матрица.

Решение. Пустьтакое линейное преобразованиеR², что матрица Ав ортонормированной базесовпадает с А (см. раздел 9, пример 3). Векторыявляются собственными векторами преобразования, относящимися к собственным значениям (9) и (1) (пример 4, раздел 9). Нормируя, получаем

т.е. ортонормированную базу, состоящую из собственных векторов преобразования .

Матрица преобразования в базе1,2диагональная

.

В силу теоремы 1 раздела 9, если

,

то ТАТ^-1=B_φ.

11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка

Квадратичной формой двух переменных х и у называется сумма вида

f(x,y) = ₁x²+2xy+₂y². (1)

Симметрическая матрица

называется матрицей квадратичной формыf(х,у).

Выполним линейную замену переменных:

(2)

которое определяется матрицей

. (3)

Непосредственным вычислением легко проверить, что квадратичная форма (1) перейдет в квадратичную форму от переменных х, у с матрицей

TAT^'.

где Т^'получается из Т транспонированием.

Квадратичная форма вида

₁х₁²+₂х₂²(4)

называется канонической, ее матрица является диагональной.

12. Положительные матрицы

Матрица называетсяположительной(неотрицательной), если. В первом случае будем писать А >0, во втором А ≥ 0. Рассмотрим весьма важные для экономических приложений свойства положительных матриц.

Теорема. Положительная матрица А всегда имеет положительный характеристический корень_0, который является простым. Все остальные характеристические корни по модулю меньше₀. Собственный столбец, отвечающий₀, может быть выбран положительным.

Доказательство.Рассмотрим множество столбцов, определенные соотношением

Очевидно, что нулевой столбец не входит в это множество. Положим для А:

.

Пусть S() – множество всех неотрицательных, для каждого из которых, найдется неотрицательный столбец Х, такой, что

Х ≤ АХ.

Суммируя левые и правые части, получим ≤ М. Отсюда следует, чтоS() является ограниченным множеством и, кроме того, непустым, поскольку А положительная матрица.

Пусть - последовательность чисел_i, сходящаяся к₀, а- последовательность столбцов, таких, что

_iX_i ≤ AX_i, i=1, 2,… .

Выбираем из подпоследовательность, сходящуюся к Х₀– неотрицательному ненулевому вектору. Так как при этом

₀X₀≤AX₀, (1)

то   S().

Покажем, что в (3.1) выполняется на самом деле равенство. Доказательство проведем от противного. Предположим без потери общности, что

(2)

где х_i,i= 1, 2, …,n– компоненты вектора Х₀. Рассмотрим теперь столбец

.

Из (3.2) следует, что АY₀Y. Последнее неравенство противоречит свойству максимальности₀. следовательно,d= 0 и равенство должно иметь место во всех соотношениях (3.2). это означает, что₀– собственное значение, а Х_i – отвечающий ему собственный столбец, который положителен.

Покажем теперь, что ₀– наибольшее по модулю собственное значение. Предположим, что существует характеристическое числоматрицы А, такое, что. ПустьZ– соответствующий этому числу собственный столбец, тогда изAZ=Zследует, что

, (3)

где - это столбец, компоненты которого являются модулями компонент столбцаZ. Из неравенства (3.3) и определения₀следует, что. Отсюда, следовательно,₀– наибольшее по модулю значение матрицы А.

Покажем в заключение, что ₀является простым характеристическим числом. ПустьU– вещественный собственный вектор матрицы А, соответствующий₀и непропорциональный Х₀. нетрудно подобрать такое, чтобы столбец Х₀+Uбыл неотрицательным и имел некоторые компоненты равными нулю, ноA(X₀+U)=₀(X₀+U) > 0, и мы приходим к противоречию. Которое доказывает простоту₀. Доказательство теоремы Перрона завершено.

Для неотрицательных матриц имеется обобщение теоремы Перрона. Приведем без доказательств формулировку этого результата.

Квадратная матрица называется разложимой, если множество индексов, которыми занумерованы столбцы и строки, можно разбить на два непустых пересекающихся множестваS₁иS_2, таких, что а_ij = 0 для всехiS₁, jS₂.

Теорема (Фробениуса). Неотрицательная неразложимая матрица А всегда имеет простой положительный характеристический кореньR. Все остальные характеристические корни лежат в круге. Собственный вектор, отвечающийR, может быть выбран положительным.

Упражнения

1. Найти перронов корень и соответствующий ему собственный столбец для матрицы

.

2. Является ли разложимой матрица

.