По формулам Крамера

Эти равенства определяют общее решение заданной системы. Придавая в них свободным неизвестным х₁, х₄ произвольные числовые значения, получаем все решения нашей системы.

11. 9. Линейные преобразования. Собственные векторы

Для простоты и наглядности ограничимся рассмотрением векторного пространства R² или R³, т.е. совокупности векторов пространства или плоскости. Будем считать, что все векторы исходят из фиксированной точки O.

Пусть задано отображение  пространства в себя, т.е. каждому вектору пространства сопоставлен векторэтого же пространства. Отображение называется линейным преобразованием, если для любых векторов ипространства и любого числа выполняются равенства:

I) ,

2) .

Пример I. Пусть ₀ – фиксированное число. Полагаем для любого вектора а пространства. Легко проверить, что - линейное преобразование.

2. Поворот плоскости вокруг точки O на некоторый угол есть линейное преобразование пространства R².

3. Пусть – база (базис) R³. Если – произвольный вектор изR³, то . Пусть - линейное преобразование R³. Тогда в силу равенств I), 2) . Поэтому достаточно знать действия на элементах базы. Возникает вопрос, существует ли такое линейное преобразование, которое базисные элементы отображает на произвольно выбранные векторы. Ответ положительный. Если положить

.

то  - линейное преобразование и = с₁, = с₂, = с₃. (Проверьте!)

Зафиксируем в пространстве R³ некоторый базис . Пусть  - линейное преобразование этого пространства. Разложим векторы по базе: = ₁₁ℓ₁ + ₁₂ℓ₂ + ₁₃ℓ₃,

= ₂₁ℓ₁ + ₂₂ℓ₂ + ₂₃ℓ₃,

= ₃₁ℓ₁ + ₃₂ℓ₂ + ₃₃ℓ₃.

Матрица

(I)

называется матрицей линейного преобразования  в базе _.

Теорема 1. Пусть B_φ - матрица линейного преобразования  в базе ₁, ₂, ₃. Тогда матрицы А_φ и B_φ подобны, т.е. найдется такая невырожденная матрица Т, что

B_φ = T А_φ T^-1, А_φ = T^-1 B_φ T.

Если  – линейное преобразование, для которого = ω₁, =ω₂, = ω₃, то в качестве матрицы Т можно взять матрицу преобразования  в базе _.

Опускаем доказательство, которое можно провести прямым вычислением.

Если  - некоторое неизвестное, Е – единичная матрица 3-го порядка, то многочлен 3-й степени

называется характеристическим многочленом преобразования  (матрицы А_φ), уравнение - называетсяхарактеристическим уравнением преобразования  (матрицы А_φ), а корни этого уравнения – характеристическими корнями преобразования  (матрицы А_φ).

Теорема 2. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами, а значит, и одинаковыми характеристическими корнями.

Доказательство. Пусть A = T^-1BT. Тогда

В этой цепочке равенств второе следует из того, что Е перестановочна с любой матрицей, третье получается в силу закона дистрибутивности, четвертое равенство выполняется, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, а последнее равенство вытекает из соотношения

.

Определение. Ненулевой вектор называетсясобственным вектором линейного преобразования , если а = ₀, где ₀ – некоторое действительное число, оно называется собственным значением преобразования .

Считаем, что собственный вектор относится к собственному значению₀. Заметим, что если – собственный вектор, то и– собственный вектор для любого  0. Действительно, ===.

В примере 1 каждый ненулевой вектор является собственным, а в примере 2, если угол поворота не является кратным , линейное преобразование не имеет собственных векторов.

Рассмотрим линейное преобразование  с матрицей (I) в базе и предположим, что вектор является собственным вектором преобразования .

(2)

Тогда

.

Из формулы (2), приравнивая координаты, получаем

₁₁₁ + ₂₂₁ + ₃₃₁=₀₁,

₁₁₂ + ₂₂₂ + ₃₃₂=₀₂,

₁₁₃ + ₂₂₃ + ₃₃₃=₀₁.